关于最小原根的两个结果

论文摘要

素数p的最小正原根g（p）的阶的估计是数论中的一个重要问题.1960年前后王元和D.A.Burgess利用A.Weil关于有限域上代数函数域的Riemann猜想的深刻结果分别独立得到g（p）=O（p1/4+ε）,其中ε是任一正数.王元还在假定有理数域中广义Riemann猜想成立的条件下利用Brun筛法得到g（p）=O（m6log2p）,其中m代表p-1的互异素因子的个数.1992年,V.Shoup利用Iwaniec筛法改进了王元的条件结果,他得到g（p）=O（m4（1ogm+1）4log2p）.2004年,王永晖和C.Bauer又将王元的条件结果推广到代数数域.在函数域上,许志农1998年给出了模不可约多项式的最小原根的估计.本文将利用Iwaniec筛法在代数数域和函数域两种情况下考虑最小原根的估计,改进王永晖和C.Bauer及许志农的相关结果. 全文共分三章.第一章介绍原根的定义及最小正原根估计方面的已有结果,并简述本文所使用的方法.第二章首先引入Grossen-特征及Hecke zeta函数,然后证明任意代数数域上的一个Perron公式,并利用Hecke zeta函数的若干估计给出代数数域上的特征和估计,最后应用Iwaniec筛法改进目前最小正原根阶的估计方面的已有结果.详言之,我们证明了:假设代数数域中的广义Riemann猜想成立,则存在一个完全正的模素理想p的原根v,满足 Nv《m4（1Ogm+1）4（1OgNp）2,其中m=ω（φ（Np））,ω（n）代表n的互异素因子的个数,φ为Euler函数.在本文第三章,再次利用Iwaniec筛法改进许志农在函数域上最小原根的结果,我们证明了:设P是一个系数在q元有限域Fq上的一元首一不可约多项式,则模P的最小原根的次数≤61ogq（degP+1）+c,其中c是任一正数.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言及主要结果
• 第二章 数域中的最小正原根
• §2.1 记号
• §2.2 数域中的Perron公式
• §2.3 有关Hecke zeta函数的估计
• §2.4 特征和估计与定理2的证明
• §2.5 Iwaniec筛法
• §2.6 定理1的证明
• 第三章 函数域中的最小原根
• §3.1 记号
• §3.2 特征和估计
• §3.3 定理3的证明
• 参考文献