论文摘要
本论文的主要内容是利用能量极小化原理和非协调有限元,解决各向同性近于不可压介质的线弹性问题中的Locking现象。对于几乎不可压材料,当材料的Lamé常数λ→∞时,通常的低阶协调有限元的解不再收敛到原问题的解或达不到最优收敛阶,这就是弹性材料的Locking现象。目前已有许多有效的方法用于解决Locking问题。这些方法按照变分原理大致可以归结为两类,一类是基于Hellinger-Reissner变分原理的混合有限元方法,另一类是基于能量极小化原理的标准的有限元方法。对于混合有限元方法,只要选择匹配的位移和压力有限元空间,就可以得到稳定离散方法。混合元法的一个重要缺陷是要求解更多的未知函数,而标准的有限元方法不增加微分方程中未知函数的个数,并且导出的代数方程组的系数矩阵是正定的,这给求解带来了很大的方便。本文将采用基于能量极小化原理的有限元方法,构造二维和三维2阶收敛的Locking-free非协调元。对于平面弹性问题,本文构造了一个14-freedom非协调三角形元和一个18-freedom非协调矩形元。分析了这两个有限元诱导的插值算子和散度算子具有一定意义下的可交换性,且有限元空间中的元素在单元边界上具有一定的积分连续性。利用这些性质证明了这两个非协调元对纯位移边界条件下的平面弹性问题都是Locking-free的,且关于λ有一致地最优收敛阶,其能量模和L2-模的误差估计分别达到了2阶和3阶。给出的数值算例也验证了理论分析的结果。用非协调有限元求解应力边界条件的弹性方程的主要困难在于单元要满足离散的第二Korn不等式。利用Falk在[22]中的思想,本文证明了由14-freedom三角形元诱导的有限元空间中,第二Korn不等式的离散形式是成立的,从而证明了该单元对应力边界条件下的平面弹性问题也是Locking-free的,并且能量模和L2-模的误差估计也分别达到了2阶和3阶。将平面弹性问题中构造单元的方法推广到三维的情形。针对三维纯位移边界条件下的线弹性问题,构造了一个39-freedom四面体元和一个63-freedom长方体元,证明了它们关于λ均具有一致的最优收敛阶。对长方体元给出了数值算例,验证了理论分析的结果。