几类抛物型方程解的定性研究

论文摘要

当前非线性偏微分方程研究领域中的一个重要的研究方向，就是运用偏微分方程来研究物理、化学、生物和经济等领域中的非线性现象。本文考虑三方面的问题：其一，考察一类快速扩散方程弱解的正则性，主要是解的全局Holder连续性与全局Holder模估计；其二，考虑一个交错扩散捕食模型(强耦合的抛物型方程组)解的整体存在性；其三，讨论几类非线性抛物型方程解的爆破性质，包括解整体存在的条件(即解的临界爆破指数)、爆破速率估计以及爆破点集的刻画等内容。 第一章叙述与本文相关的研究工作的背景与发展概况，并概述本文的主要工作。 第二章考察一类快速扩散方程弱解的正则性，这个方程的特点是其系数仅要求为可测。通过引入广义De Giorgi类，并重新定义弱解(弱上下解)，建立了广义De Giorgi上下类与弱上下解之间的关系，再利用测度论方法，证明了该方程的弱解在整个区域上是一致Holder连续的，并得到了弱解的全局Holder模估计。 第三章研究一个交错扩散捕食模型(强耦合的抛物型方程组)解的适定性，运用有限差分方法与熵不等式技巧，证明了在高维空间上该模型有一个整体存在的弱解，同时还说明了这个解是非负的。 第四章探讨一个定义在半空间上且带有两个非线性反应项和两个非线性边界条件的抛物型方程组，通过引入一组合适的不等式，并借助于精细的scaling(尺度变换)分析和迭代，我们导出了爆破解的爆破速率估计和爆破点集，特别是对一维空间的情况，我们得到了有关于爆破速率估计和爆破点集刻画的完整结果。 第五章考虑一个拟线性抛物型方程正解的爆破性质，通过构造精细的上下解，我们首先确立了解的临界爆破指数；然后应用比较原理给出了爆破解的爆破点集；最后，借助于细致的尺度变换分析估计了一个特殊情形下爆破解的爆破速率。 运用与第五章类似的方法，第六章对一个互助模型确立了临界爆破指数以及某些条件下解的爆破速率的下界估计。 第七章研究一类局部源与非局部源共存的抛物型方程组，主要考察局部源和非局部源对解的爆破性质的影响，借助于寻求解的两个分量之间的精确关系、利用研究方程式的基本方法和部分已知结果，我们得到了解的爆破模式。进而，对局部源与非局部源各自的影响

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• §1.1 与奇性方程解的正则性相关的研究工作的发展概况
• §1.2 与生态模型解的适定性相关的研究工作的发展概况
• §1.3 与解的爆破相关的研究工作的发展概况
• §1.3.1 局部问题
• §1.3.2 局部化问题
• §1.4 本文主要工作概述
• 第二章 一类快速扩散方程弱解的全局H（o|¨）lder模估计
• §2.1 问题的提出与主要结论
• §2.2 预备知识
• §2.2.1 一些记号及辅助引理
• §2.2.2 广义De Giorgi类
• §2.2.3 对上解的一些讨论
• §2.3 Rescgled迭代
• §2.4 方程（2.1.1）弱解的内部正则性
• §2.4.1 局部上解的性质
• §2.4.2 局部下解的性质
• §2.4.3 定理2.1.1的证明
• §2.5 方程（2.1.1）弱解的边界正则性
• §2.5.1 预备知识
• §2.5.2 定理2.1.2的证明
• §2.5.3 定理2.1.3的证明
• 第三章 一个强交错扩散捕食模型弱解的整体存在性
• §3.1 问题的提出与主要结论
• §3.2 一些辅助命题
• §3.3 逼近问题
• §3.3.1 第二次逼近问题（3.3.4）
• §3.3.2 关于T和h的一致估计
• §3.4 定理3.1.1的证明
• +'>§3.4.1 极限T,h→0⁺
• +'>§3.4.2 极限η→0⁺
• 第四章 半空间上一类半线性抛物型方程组解的爆破行为
• §4.1 问题的提出
• §4.2 主要结论
• §4.3 定理4.2.1的证明
• §4.4 定理4.2.2的证明
• §4.5 定理4.2.3的证明
• §4.6 对一维空间情形的进一步探讨
• 第五章 一个拟线性抛物型方程正解的爆破性质
• §5.1 问题的提出
• §5.2 主要结论
• §5.3 解整体存在的条件
• §5.4 解在有限时刻爆破的条件
• §5.5 爆破点集
• §5.6 爆破速率估计
• §5.6.1 定理5.2.5的证明
• §5.6.2 定理5.2.6的证明
• 第六章 一个互助模型的临界爆破指数与爆破速率的下界估计
• §6.1 问题的提出
• §6.2 主要结论
• §6.3 解整体存在的条件
• §6.4 解在有限时刻爆破的条件
• §6.5 p=s且q=r时爆破速率的下界估计
• 第七章 带有非线性局部化源的抛物型方程组解的爆破模式
• §7.1 问题的提出
• §7.2 主要结论
• §7.3 定理7.2.1和定理7.2.2的证明
• §7.3.1 定理7.2.1的证明
• §7.3.2 定理7.2.2的证明
• §7.4 定理7.2.37.2.7的证明
• §7.4.1 定理7.2.3和定理7.2.4的证明
• §7.4.2 定理7.2.5的证明
• §7.4.3 定理7.2.6的证明
• §7.4.4 定理7.2.7的证明
• 参考文献
• 附录一 博士期间完成论文列表
• 附录二 致谢