流不变集方法的系统研究与退化特征值问题

论文摘要

本文主要研究半群动力系统与平衡点之间的关系.讨论由半群动力系统寻找平衡点的问题,以及通过多种方式考察了构造半流正不变集的方法.具有Lyapunov泛函的半群动力系统与平衡点相应于变分理论中的下降流不变集方法的很多概念在方程中有着自然的对应关系.因而首先对这类系统建立了一些由半群寻找平衡点的方法.与下降流不同的是,系统半群在负时间上一般是不适定的,这就需要结合动力系统的一些概念和性质来克服这一困难.为进一步发展这一理论,还进行了以下两方面的讨论：推广了下降流不变集方法中用于描述泛函导映射在Hilbert空间中凸集边界上形态的Schauder型条件.应用新的边界条件可以将原本满足Schauder条件时,在Hilbert空间凸集上建立具有保证其不变性的伪梯度流的方法,延伸至一般的Banach空间中具有本性局部凸性这一类比凸集更一般一些的集合上来构造同样性质的伪梯度流.并且这样做的意义还在于.推广了的边界条件和新的伪梯度向量场的构造方式可以直接应用于非线性项在零和无穷增长性发生变化的p-Laplace方程多解性的讨论.以及进一步加强了以往伪梯度向量场的定义方式,切实改进了伪梯度流的构造方法.使得这样构造的伪梯度流具有全时间以及对任意初值可以整体定义的全局性质.避免了需要在临界点集的邻域上进行截断的步骤,也就是说具有了更好的动力学特性.最后一章中尝试采用动力系统的方式对加权Laplace-Dirichlet算子的特征值进行讨论.尤其是当加权空间在L2中嵌入不紧或无法嵌入的情形,对该特征值问题进行了一定程度的修正.这一问题有其独立的意义：其一,加权Laplace-Dirichlet算子是描述诸如退化、非均匀以及无界问题的最基本的方式之一;另外,在处理p-Laplace之类的非线性算子时,在某些情形下可以将非线性算子的一部分作为权来看待,使得问题得以简化,因而可以将其看做是一种处理非线性问题的手段.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 综述
• 1.1 流与平衡点研究进展
• 1.2 本文的主要工作
• 1.3 特征值问题的一种动力系统模型
• 第二章 预备知识
• 2.1 基本概念和一些重要理论
• 2.2 其它所需引理和理论结果
• 第三章 半群不变集与平衡点存在性
• 3.1 具有Lyapunov泛函时由半群寻找平衡点
• 3.2 Schauder型条件的推广
• 3.2.1 法内向边界条件
• 3.2.2 伪梯度向量场的构造
• 3.2.3 p-Laplace方程中的应用
• 3.3 全局伪梯度向量场
• 3.4 小结与展望
• 第四章 特征值问题
• 4.1 加权Laplace-Dirichlet算子特征值问题
• 4.1.1 加权Sobolev空间的基本性质
• 4.1.2 奇对称非线性特征值
• 4.1.3 空间加强后的线性特征值
• 4.2 注记
• 参考文献
• 在学期间的研究成果
• 致谢