随机波动方程的随机吸引子和两类格点系统的全局吸引子

论文摘要

无穷维动力系统在非线性科学中占有极为重要的地位。格点系统与非线性波动方程是两类很重要的无穷维系统。吸引子（包括全局吸引子，随机吸引子）是无穷维动力系统研究的中心内容之一。对吸引子的研究主要基于两个方面，一是研究其存在性，第二是在其存在的前提下研究其几何结构，如Kolmogorov熵、维数、上半连续性等。本博士论文主要研究了随机非线性波动方程的随机吸引子与一维的Klein-Gordon-Schr（?）dinger（KGS）无穷格点系统、高维耗散的Zakharov无穷格点系统等两类无穷格点系统的全局吸引子。首先介绍了动力系统的发展历史以及作者的主要工作。第二章简单介绍了与本论文相关的一些基础知识、Sobolev空间与一些常用的不等式如Young不等式，H（?）lder不等式，Gronwall不等式。 本文的研究工作由两部分组成。 第一部分内容由第三、四章构成。第三章证明了具白噪音的阻尼非线性波动方程在Dirichlet边值条件下生成的随机动力系统的随机吸引子的存在性，并对它的Hausdorff维数进行了估计，得到了它的Hausdorff维数的一个上界。得到的Hausdorff维数的上界随着阻尼的增大而减小且当非线性项的导数有界时，它一致有界。而且在这种情况下，随机吸引子的Hausdorff维数的上界恰好就等于它所对应的确定系统的全局吸引子的Hausdorff维数的上界。也就是说在这种情况下白噪音对吸引子的Hausdorff维数的上界没有影响。但一般情况下，吸引子的维数的上界与白噪音项有关。 第四章考虑了一个具白躁音的强阻尼sine-Gordon方程。通过引入加权范数与对关于时间为一阶的发展方程所对应线性算子的正性的分解，对由此方程生成的随机吸引子Hausdorff维数进行估计，得到了这个随机吸引子的Hausdorff维数的上界的一个估计。特别值得一提的是，此时得到的随机吸引子的Hausdorff维数上界恰好等于它所对应的确定性的sine-Gordon方程生成的全局吸引子的Hausdorff维数的上界，也就是说在这种情况下白噪音对吸引子的Hausdorff维数的上界没有影响。 第二部分由第五、六章构成。本部分在R．Temma所构建的无穷维动力系统理论框架的基础上，对一维KGS无穷格点系统与高维耗散的Zakharov无穷格点系统进行了研究。通过引入加权内积与新范数以及应用“Tail End”建立了对方程解的一致估计，克服了无界区域内Sobolev紧嵌入的缺乏而带来的困难，分别证明了全局吸引子的存在性；在目前还无法找到有效的方法来估计格点系统的吸引子的维数的

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 研究背景
• §1.1.1 动力系统概述
• §1.1.2 无穷维动力系统与格点系统概述
• §1.1.3 随机微分方程与随机动力系统概述
• §1.2 主要工作
• 第二章 基础知识简介
• §2.1 半群与全局吸引子
• §2.1.1 全局吸引子
• §2.1.2 Kolmogorov ε-熵
• §2.2 随机动力系统与随机吸引子
• §2.2.1 Brown运动与随机吸引子
• §2.2.2 随机吸引子的Hausdorff维数
• §2.3 泛函空间与不等式
• §2.3.1 泛函空间与嵌入定理
• §2.3.2 常用不等式
• 第三章 具白噪音与阻尼的非线性波动方程的随机吸引子
• §3.1 模型的背景介绍
• §3.2 随机动力系统与随机吸引子
• §3.3 解的存在唯一性
• §3.4 随机吸引子
• §3.4.1 解的有界性
• §3.4.2 随机吸引子的存在性
• §3.5 随机吸引子的Hausdorff维数
• 第四章 具白噪音的强阻尼sine-Gordon方程的随机吸引子的Hausdorrf维数
• §4.1 模型的背景与意义
• §4.2 预备
• §4.3 随机吸引子的Hausdorff维数
• 第五章 Klein-Gordon-Schr（o|¨）dinger无穷格点系统的全局吸引子
• §5.1 模型的背景与意义
• §5.2 解的存在唯一性
• §5.3 解的有界性
• §5.4 全局吸引子
• §5.5 全局吸引子的Kolmogorov δ-熵
• §5.6 吸引子的上半连续性
• 第六章 高维耗散Zakharov无穷格点系统的吸引子
• §6.1 模型的背景与意义
• §6.2 吸收集与全局吸引子
• §6.2.1 解的存在唯一性
• §6.2.2 吸收集
• §6.2.3 全局吸引子
• §6.3 Kolmogorov ε-熵
• §6.4 吸引子的逼近
• 附录A
• 附录B
• 参考文献
• 致谢