混合型方程的DG有限元方法

论文摘要

在线性偏微分方程理论中,关于椭圆型方程、双曲型方程和抛物型方程的性质有着本质的区别。对不同类型的方程为了保证问题的适定性要求有不同的定解条件。这些要求给研究不同类型方程的耦合问题带来了诸多困难。因此,对于混合型方程的相关研究相对较少,这对这些方程的计算也提出了新的挑战。K.O. Friedrichs在其著作’Symmetric Positive Linear Di?erential Equation’中提出了将混合型方程改写为正对称组形式来给出问题的定解条件。Tricomi方程就是混合型方程。表现为:上半平面为双曲型方程、下半平面为椭圆型方程。Tricomi方程可以表示为正对称组的形式,通过定义合格的边界条件保证问题解的存在唯一性。DG有限元方法对双曲型方程和椭圆性方程都有相应的离散格式,同样对混合型方程的正对称组形式也能构造相应的离散格式。本文给出了Tricomi方程在满足具有分段光滑边界的区域上边值条件的提法,并且给出了相应的DG有限元方法。通过构造合适的内边界算子和外边界算子,引入平均化算子和跳跃算子,可以推导出基于三角剖分的主形式,得到Tricomi方程的DG有限元离散双线性型。选取适当的逼近函数空间,并赋予逼近空间恰当的范数和半范数,获得解在这些范数意义下的强制性、稳定性、连续性和Galerkin正交性,从而推导出方程有限元离散格式的收敛性,并且能够给出Tricomi方程的先验估计。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 引言
• 第二章 正对称组：连续问题框架
• 2.1 连续问题框架
• 2.2 适定性结论
• 第三章 Tricomi方程的正对称组
• 第四章 DG有限元框架
• 4.1 DG有限元框架
• 4.2 外边界算子
• 4.3 内边界算子
• 4.4 离散问题
• 第五章 Tricomi方程的DG有限元方法
• 第六章 收敛性分析和先验误差估计
• 第七章 数值例子
• 参考文献
• 致谢