一维随机微分方程的稳定性

论文摘要

随机微分方程在很多领域中都有很广泛的应用,如在经济学中,人口生态学中等等.给定一个常微分方程,它的解有可能是不稳定的,而相应的随机微分方程却可能是稳定的.本文主要研究了随机微分方程的解的存在性与唯一性,有界性及稳定性等问题.本文第一章介绍了本文工作的背景及本文的主要工作.第二章介绍了当随机微分方程dx（t）=f（x（t）,t）dt+g（x（t）,t）dB（t）的系数f和g分别满足李普希茨条件和线性增长条件时,该随机微分方程的解的一些性质,包括解的存在性与唯一性,依概率稳定,几乎必然指数稳定和矩指数稳定等等.在第二章的后两节中,研究了对于一个给定的随机微分方程系统,一方面,如果它的解为指数增长,则噪声可以把它变为一个新的系统,它的解是多项式增长的.另一方面,如果它的解是有界的,噪声也可以把它变为一个新的系统,它的解为指数增长的.总而言之,噪声既可以促进随机微分方程的指数增长也可以抑制它的指数增长.在第三章中研究了随机微分方程dx（t）=f（x（t）,t）dt+g（x（t）,t）dB（t）的稳定性,其中两个系数f和g都满足局部李普希茨条件,f满足单边多项式增长条件,且g满足多项式增长条件.本章中将说明合适的β可以保证该随机微分方程系统存在唯一的全局解,并且存在只与初始值有关的常数Kp,使该方程的解为有界的,最后还将讨论足够大的q能确保该系统的解满足几乎必然指数稳定性.最后还给出了相应的例子进行说明.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 本文研究的背景及现状
• 1.2 本文的主要工作
• 1.3 基本记号与概念
• 2 系数满足线性增长条件的随机微分方程的稳定性
• 2.1 依概率稳定
• 2.2 几乎必然指数稳定
• 2.3 矩指数稳定
• 2.4 噪声抑制指数稳定
• 2.5 噪声促进指数稳定
• 3 系数满足多项式增长条件的随机微分方程的稳定性
• 3.1 解的存在性
• 3.2 有界性
• 3.3 指数稳定性
• 结束语
• 致谢
• 参考文献