论文摘要
高维非线性系统的非线性激发模式、复杂非线性波的研究是当前非线性孤子理论、波动理论和非线性动力学研究的重要课题。自然界中存在的各种非线性折叠现象,周期波形态需要我们从非线性波动模型中寻求更合理的理论诠释。本论文主要以源于实际水波和其他物理问题的2+1维非线性波动模型（方程）为研究对象,深入研究了它们的求解问题,揭示出丰富的非线性折叠孤波和周期传播波模式,并运用解析和图示方法对其非线性特性进行了探讨。本论文的主要工作及其研究成果可以分为三部分概述如下:第一部分,本文将近年来发展的多线性分离变量方法、Painlevé截断展开法,广义的形变映射方法等分别推广应用到多个2+1维非线性波动模型,如2+1维长短波共振相互作用方程、Maccari系统、广义NNV方程、2+1维KdV方程、HBK方程,2+1维变系数BK方程等,获得他们的分离变量解.基于2+1维非线性分离变量解,选择适当的单值和多值函数,获得了丰富的非线性单值和多值局域激发模式,特别是多值折叠孤立波激发。在2+1维分离变量解中选择适当的的单值分离变量函数,构造了2+1维非线性波动模型多种单值相干孤子结构如Dromion,Dromion格子,Solitoff,2-Solitoff,静止和运动呼吸子、瞬子、Compacton、Peakon等;考察了一些典型的非线性激发模式间如Compacton和Compacton,Peakon和Peakon,线孤子和y-周期孤子,Dromion和Dromion,Dromion和Solitoff之间等相互作用行为,发现其相互作用可以弹性的也可以是非弹性的,揭示了多样奇异而重要的非线性特性。在2+1维分离变量解中引入适当的多值函数,构造出多种复杂的多值局域折叠孤立波形态,如蠕虫状折叠孤波、绳结型折叠孤波、帐篷式折叠孤波、蠕虫状Solitoff折叠孤波,蛹虫状dromion折叠孤波等.折叠孤波在所有方向都呈多值局域折叠形态,折叠子相互作用为弹性碰撞。分析了两类不同分离变量解基础上的局域激发模式的渐进行为,给出了折叠孤波渐进演化行为的一般特点以及折叠孤波相互作用为弹性的相移条件,并具体研究了折叠孤波的弹性相互作用行为（折叠子）。在2+1维分离变量解中引入多值函数和不同单值函数,得到了多种半折叠孤波激发,如钟状半折叠圈孤子、Compacton半折叠圈孤子、Peakon半折叠圈孤子等。半折叠孤子在一个方向上多值圈孤子折叠,而在另一方向上非线性单值局域。半折叠孤子之间的非线性相互作用是弹性,而半折叠孤子与单值局域孤子、半折叠孤子与折叠孤子以及更复杂的半折叠孤子、折叠孤子、单值局域相干孤子之间等多值和单值非线性激发模式间的相互作用是非弹性的,呈现出多样的非线性特性。这些研究展示了丰富多姿的多值局域折叠激发形态,为进一步了解和研究自然界的各种复杂非线性多值折叠现象奠定了基础。第二部分,本文拓展和推广了新近发展的几种典型的直接代数方法和基于分离变量解的间接方法,获得多个2+1维非线性波动模型丰富的雅克比椭圆函数双周期波解和周期传播波模式,并得到长波极限情形下存在的非线性孤立波。发展和应用Hirota双线性-θ函数方法,雅克比椭圆函数展开法,线性叠加法,F-函数展开法等分别求解2+1维2DsG方程,耦合ZK方程,2+1维KdV方程,2+1维长波短波共振相互作用方程,2+1维色散长波方程,获得丰富的雅克比椭圆函数双周期波解,描述了一些周期波形态及周期特性.长波极限下即椭圆函数模量m→1时,一些椭圆函数波退化得到相应的非线性孤立波解,如钟形孤波,单扭结孤波,马鞍型双扭结孤波,线孤子等。此外,还将椭圆函数展开方法拓展应用到离散差分非线性系统,获得了离散AL方程的周期波解和离散孤子,并揭示了亮、暗离散孤子的非线性特性。从2+1维分离变量通解出发,引入适当的雅克比椭圆函数如雅克比正弦、余弦函数,雅克比第三椭圆函数及其倒数函数等,得到（2+1）维HBK方程和Maccari所得孤子方程的多种周期传播波,揭示了不含复变量和含复变量的两类非线性波动模型的周期传播波特性.这些椭圆函数波随着椭圆函数模量的变化呈现出不同的形态,可以是周期振荡波,也可以是Drmion格子,多Peakon激发形态等,长波极限下,可以退化为单值局域Dromions、多Lumps激发模式.椭圆函数传播波之间的相互作用是非弹性的,而在长波极限下相应相干孤子激发Dromion,Lumps之间的相互作用可以是弹性的,也可以是非弹性的。此外,我们还构造了在雅克比椭圆函数波背景下的Dromion孤子,这种新的复合波形态与海洋中发生的畸形极值波极其类似。第三部分,本文从2+1维分离变量通解出发,提出了构造一种新非线性波即周期折叠波的简单方法,获得了的2+1维HBK方程和2+1维KdV方程的周期折叠波。我们基于2+1维非线性分离变量解,引入适当的多值函数和雅克比椭圆如雅克比椭圆正弦、余弦函数等,得到蠕虫状、帐篷状等多种复杂非线性周期折叠波。周期折叠波在一个方向上呈多值圈孤子折叠,而在另一方向上为单值周期振荡波,数学解析上可以视为特殊的半折叠波形态。周期折叠波的非线性相互作用是完全弹性的,在长波极限下退化为单折叠孤立波,相应折叠孤立波的非线性相互作用也是完全弹性的,除了相位变化,相互作用前后其形状和速度均不发生变化。这些研究有助于我们理解和认识自然界特殊的非线性周期折叠波现象。