论文摘要
本论文研究了局部扰动和全空间随机扰动下的Hamiltonians（主要是Maxwell算子和散度型微分算子）的谱理论和相应的动力行为．论文大致可分为三个部分．第一部分由前两章构成．第一章介绍了Maxwell算子的物理背景，与量子理论的联系及研究现状．第二章研究了周期微分算子（包括周期Maxwell算子等）的基本性质，主要涉及Floquet-Bloch理论，谱的band-gap结构,band edges的稳定性与正则性等.还列出了这一领域中的一些尚未解决的问题．第二部分由第三，四，五，六章构成：主要研究了在给定的扰动下的Maxwell算子谱的性质．第三章研究了3-D Maxwell算子在局部扰动下band-gap中点谱存在性及个数估计:我们证明当扰动的强度足够大时，会在能量禁带内产生特征值；对于具有紧支集的扰动，其在能量禁带内产生的特征值的个数可以由扰动支集的测度控制；对于支集是全空间的扰动，通过使用trace ideals估计和Dirichlet-Neumann bracketing技巧，我们给出了能量禁带中的特征值个数关于相空间（phase space）体积的上界估计．第四章研究了在线缺陷扰动下的3-D Maxwell算子band-gap中谱（点）存在性，还研究了相应的广义特征函数的性质:基于构造性的证明方法，我们证明当线缺陷足够强时，在线缺陷扰动下的3-D Maxwell算子的band-gap中存在谱（点）;基于Floquet-Bloch理论和Combes-Thomas估计，证明相应的广义特征函数的指数衰减性．第五章研究了2-D Maxwell算子在线缺陷扰动下本质谱的稳定性及特征函数的性质：证明了2-D Maxwell算子在线缺陷扰动下本质谱是稳定性的；基于内估计（interiorestimate）和Combes-Thomas估计，我们证明了特征函数在远离线缺陷时是指数衰减的．第六章继续第五章的问题，证明了谱扰动的完备性；我们还给出点谱在各种扰动下的的渐近分布．特别地，我们发现当扰动的强度足够弱时，扰动在能量禁带内不会产生特征值．第三部分由第七章构成：研究了在随机扰动下的Hamiltonians（主要是Maxwell算子和散度型微分算子）在空间点阵（即，格子）上的谱的性质和动力行为：首先得到Wegner估计；然后我们使用谱平均技巧（spectral averaging trick）得到能级的相干估计（correlation estimates；或称为第二矩量估计）；利用多尺度分析（multiscaleanalysis）和fractional-moment analysis证明了在局域化（localization）区域内特征值是非退化的，且服从Poisson分布；最后研究了局域化中心的空间分布特点。我们发现在能量的局域化区域内，如果两个能级相距越近，那么它们相应的特征函数的局域化中心就相距越远．