论文摘要
扩张仿射李代数（简写为EALA）是一类重要的李代数,它包含了我们熟知的有限型和仿射型Kac-Moody代数.这类李代数最初由文[H-KT]的作者引进研究,并被称为拟单李代数.随后,文[BGK]的作者对单边情形拟单李代数进行了详细研究.在文[AABGP]中,作者引进半格的概念,并对扩张仿射根系进行了分类,同时也给出了扩张仿射李代数的具体实现.和仿射Kac-Moody代数不同的是,扩张仿射李代数的坐标代数不但可以是多变量罗朗多项式环,还可以是某些特殊的交错代数,若当代数以及量子环面代数.量子环面代数作为罗朗多项式代数的非交换化的推广,已被很多学者进行了研究,如[P],[KPS],[McP]等.从量子环面Cq和它的导子代数Der（Cq）出发,可以构造很多重要的李代数.例如,在文[BGK]中,作者运用量子环面和Der（Cq）的一个由部分特殊导子组成的子代数实现了A型的扩张仿射李代数.本文从两个变量的量子环面Cq出发,讨论了Cq的斜导子李代数以及斜导子李代数的一类扩张得到的无限维李代数的结构性质.设R2是二维欧氏空间,Z2是R2中的一个格.由映射f:Z2×Z2→C*,f（a,b）=qa2b1-a1b2,a=（a1,a2）,b=（b1,b2）∈Z2,确定的Z2的子加群rad（f）={a∈Z2|f（a,b）=1,（?）b∈Z2}称为f的根基.设q∈C*,Cq:=Cq[x1±1,x2±1]是结合于矩阵（?）的二秩量子环面,它是含单位元1的结合代数.Cq的导子代数Der（Cq）的一个子代数B=spanC{xa（a2d1-a1d2）,（0,0）≠a∈rad（f）}（?） spanC{adxr,r∈Z2,r（?）rad（f）}称为Cq的斜导子李代数,其中d2=（?）,i=1,2是Cq的度导子.当q=1和q不是单位根时,B分别同构于Virasoro-like代数和Virasoro-like代数的q-类似代数.作李代数的半直积（?）（q）=B（?）Cq,其中Cq是（?）（q）的理想.这个李代数可以看成是一阶Heisenberg-Virasoro代数的二阶推广.记L（q）=[（?）（q）,（?）（q）],我们有（?）（q）=L（q）（?）C,其中C是（?）（q）的中心.本文主要讨论了当q≠1是p次本原单位根时,李代数L（q）的自同构群,导子代数,泛覆盖以及李代数B的Leibniz中心扩张和不变对称双线性型.具体内容组织如下:在第一章中,我们首先确定了李代数L（q）的自同构群,并由此得到L（q）的自同构群.主要结论是:该结果推广了[XLT],[ZhT]的结果.在第二章,我们计算了L（q）到它的伴随模的导子,结论为:Der（L（q））=Innder（L（q））（?） Outder（L（q））,其中dimCOutder（L（q））=5.在第三章,我们给出了L（q）的泛覆盖（?）,它是由L（q）的四个线性无关的C值2-上循环确定的四维覆盖中心扩张.在第四章中,我们计算了斜导子李代数召关于平凡模C的Leibniz二上同调群HL2（B,C）,发现该群与B的二上同调群相同,具体结论为HL2（B,C）=CB1+CB2.接着证明了B的所有不变对称双线性型组成的向量空间S（B,C）是一维的,运用这个结果和文[HPL]的一个推论,我们又直接推出HL2（B,C）=H2（B,C）.