论文摘要
本文考察具有非退化系数的Schr（?）dinger方程这里qij（x）是常系数的扰动，系数矩阵(qij)是非退化，并且满足Non-trapping条件（参见第一章定义1．3）。主要结论是如下两个定理（参见第一章第四节定理A和定理B）：定理A假设非退化条件、Non-trapping条件和衰减性条件成立，则非退化变系数Schr（?）dinger方程存在唯一解，并且对于任意0<T<∞，有其中（q，r）为非端点容许对（non-endpoint admissible pair）。定理B假设非退化条件、Non-trapping条件和衰减性条件成立，并且qij在无界区域是常数，则非退化变系数Schr（?）dinger方程存在唯一解，并且对于任意0<T<∞，任意容许对（g，r），有全文共分为五章。在第一章，我们叙述了自由Schr（?）dinger方程和具有非退化常系数的Schr（?）dinger方程的物理背景，介绍了Strichartz估计和loacal smooth-ing估计。引入了具有非退化变系数的Schr（?）dinger方程和Non-trapping条件，同时叙述了本文的主要研究结论和研究思路。在第二章，我们在Non-trapping条件下证明了Hamilton流（xt，ξt）的整体存在性和估计式。在此基础上用Kenig[35]的办法证明了具有非退化变系数Schr（?）dinger方程的local smoothing估计，这里我们用非光滑象征（non-regular symbol）的办法将系数的正则性降为C2+ε。在第三章，我们证明了有界区域的Strichartz估计。我们首先利用wave-packets变换重述了色散算子（dispersive operator）精确拟逆的构造。将有界区域的Strichartz估计转化为二进分解框架下的能量估计式这里Sλ是二进分解算子。根据Tataru的建议，我们利用scaling技巧和精确拟逆证明了上述不等式。将Tataru在[53]中关于椭圆Schr（?）dinger方程的Strichartz估计推广到一般非退化变系数的情形，并且证明方法更具有一般性。这里需要特别指出的是联系有界区域能量估计式和Strichartz估计的桥梁是local smoothing估计。为了证明无界区域的Strichartz估计，我们首先需要将问题简化。简化工作是在第四章完成的，我们构造了二阶椭圆算子P，使得换位算子[P，Q]=PQ-QP是零阶拟微分算子，然后利用Christ-Kiselev引理将问题转化为证明这里χ是截断函数。我们在第五章证明了上述不等式。为此我们应用Egrov的思想首先构造了将算子Q（x，D）正规化的位相（?）（x，ξ），即在此基础上我们首次在全空间构造了非退化二阶算子的Isozaki-Kitada拟逆。最后利用TT*论证和稳定位相法证明了算子的L∞→L1估计，进而证明了Strichartz不等式将Robbiano-Zuily和Bouclet-Tzvetkov关于变系数椭圆Schr（?）dinger方程的Strichartz估计推广到具有非退化变系数的Schr（?）dinger方程的情形。