测地自由曲线及其性质研究

论文摘要

本文提出一类新的曲线造型方法。给出任意拓扑网格模型上离散测地线的生成算法,在此基础上,对离散曲面上的自由曲线和切割磨光曲线的生成及其性质等作全面的研究。主要研究结果如下:首先,对Morera的离散测地路径算法的迭代逼近部分进行改进。基于FMM算法,通过直接求空间两直线的交点,对两点间的初始测地线进行迭代优化,获得更好逼近的离散测地线。该算法无需在网格模型上对网格顶点分类和计算网格顶点所在的平面方程,适合于任意拓扑网格模型上测地线的计算,并且计算速度更快。然后,应用离散测地线算法,将欧氏空间中两点间的最短路径修正为离散曲面上两点间的测地线,将de Boor算法推广到任意拓扑网格模型上得到测地B样条曲线;对离散曲面上的任意控制多边形进行切割磨光产生测地切割磨光曲线,并采用两种方法:简单割角法和de Casteliau算法产生测地Bézier曲线。这些曲线生成完全是从离散到离散的几何造型,所以特别适用于网格模型上自由曲线的设计。接着,推导测地自由曲线和测地切割磨光曲线的一些重要性质,如凸包性和保凸性等,并证明离散曲面上割角多边形序列的收敛性等。最后,在Visual C++6.0语言环境下,利用OpenGL图形库,给出三角化曲面、四边形网格曲面上测地线计算和三角化曲面上测地B样条曲线、测地Bézier曲线和测地切割磨光曲线生成的一些实例。实验结果表明,本文提出的测地线算法正确、快速、容易实现且有更好的逼近,并且基于该测地线算法给出的新曲线,割角多边形序列收敛速度快,局部修改性好,仿真效果逼真。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 研究综述
• 1.2 背景知识
• 1.2.1 离散测地线定义
• 1.2.2 FMM算法简介
• 1.3 主要工作和结构
• 第二章 离散测地线算法的改进
• 2.1 算法描述
• 2.1.1 点A 或B 不是网格顶点的处理
• 2.1.2 计算初始逼近
• 2.1.3 迭代逼近离散测地线
• 2.1.3.1 修正与网格顶点重合的节点
• 2.1.3.2 修正与网格边重合的节点
• 2.2 算法步骤
• 2.3 算法比较
• 2.4 算例
• 2.4.1 初始逼近到离散测地线的收敛过程
• 2.4.2 三边形网格曲面测地线计算的例子
• 2.4.3 四边形网格曲面测地线计算的例子
• 2.5 收敛性
• 第三章 测地B样条曲线的生成
• 3.1 经典B样条曲线的定义和de Boor算法
• 3.2 测地B样条曲线
• 3.3 算例
• 3.4 测地B样条曲线的性质
• 第四章 测地切割磨光曲线的生成
• 4.1 经典的切割磨光迭代算法
• 4.2 测地切割磨光曲线
• 4.3 算例
• 4.4 测地切割磨光曲线的性质
• 第五章 测地Bézier曲线的再生
• 5.1 经典Bézier曲线的定义
• 5.2 基于简单割角法的测地Bézier曲线
• 5.3 收敛性
• 5.4 基于de Casteliau算法的测地Bézier曲线
• 5.5 两种方法的比较
• 5.6 测地Bézier曲线的性质
• 5.7 算例
• 第六章 总结与展望
• 6.1 全文总结
• 6.2 新问题的提出
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间发表的主要论文