分形的测度、维数，Lipschitz等价性和开集条件

论文摘要

本文研究了分形几何中的四个基本问题:分形的测度和维数,Lipschitz等价性以及单矩阵图递归自仿迭代函数系和代数图递归迭代函数系的共轭系统。确定分形集的Hausdorff测度的准确值是分形几何中一个基本然而非常困难的问题。迄今为止,人们仅能确定一些维数小于1或者是整数维的分形集的Hausdorff测度,而对于维数s > 1且s非整数的分形集合的Hausdorff测度没有任何结果。其困难在于缺乏一般的工具,从而需要非常精细的估计。我们利用Moran集的变尺度结构构造了一类维数在1与2之间的Moran集,称为圆形Moran集,从而可以利用等周不等式,在改进先前的一些技巧的基础上,获得更为精确的估计,并由此确定了这类集合的Hausdorff测度。集合之间的Lipschitz等价性是几何测度论中的一个核心问题,有很强的挑战性,见David和Semmes[14]以及Falconer[20][21]等。寻求有效的Lipschitz不变量是大家极为关心的一个问题。我们引入集合的δ-连通性,进而定义了Rd中的紧集的间隔序列,揭示出间隔序列、分形维数与Lipschitz等价性之间的关系。在此基础上,得到了由间隔序列刻画的一个新的Lipschitz不变量,它比经典的上盒维数不变量更为精细与方便。自仿集的结构是动力系统和分形几何中最困难的问题之一,目前只有一些零星的结果,此方面的任何进展都会引起人们的关注。He与Lau借助关于欧氏空间中的一个伪度量的Hausdorff测度和维数,讨论了一类单矩阵的自仿迭代函数系的开集条件。通过更为精细的估计,我们将上述结果推广到更一般的图递归自仿迭代函数系上,从而可以将这些结果应用到原子表面的分形结构的研究中。参数为代数数的图递归迭代函数系所诱导的动力系统是目前最活跃的研究对象之一,主要集中在β-数系统tiling结构与通过投影产生的原子表面结构。我们通过参数的代数共轭引入共轭迭代函数系统,它与原始系统共享许多重要性质,包括开集条件。这种新的观点与方法统一了上述两类研究,而且更为有力。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 概述
• 1.1 圆形Moran 集的 Hausdorff 测度
• 1.2 间隔序列和Lipschitz 等价性
• 1.3 图递归自仿迭代函数系和开集条件
• 1.4 代数图递归迭代函数系的共轭系统
• 1.5 本文的结构
• 第2章 一类圆形 Moran 集的 Hausdorff 测度
• 2.1 圆形Moran 集
• 2.1.1 符号空间和符号空间的投影
• 2.1.2 圆形 Moran 集的构造
• 2.1.3 主要结论
• 2.2 预备引理
• 2.3 主要定理的证明
• 第3章 分形集的间隔序列，维数和Lipschitz 等价性
• 3.1 引言和主要结论
• 3.2 间隔序列和Lipschitz 等价性
• 3.2.1 间隔序列的性质
• 3.2.2 定理3.1 的证明
• 3.3 间隔序列与盒维数
• 3.3.1 命题3.2 的证明
• 3.3.2 两个例子
• 第4章 单矩阵的图递归自仿迭代函数系
• 4.1 迭代函数系的回顾和主要结果及应用
• 4.1.1 图递归迭代函数系
• 4.1.2 单矩阵迭代函数系
• 4.1.3 单矩阵的图递归迭代函数系
• 4.1.4 主要结果
• 4.1.5 在代换动力系统上的应用
• 4.2 SOSC 和 Markov 测度
• 4.2.1 Markov 测度
• 4.2.2 符号空间上的测度和它们的投影
• 4.2.3 平稳 Markov 测度
• 4.3 伪度量
• 4.4 一致离散性和OSC
• 4.5 伪范数下的Hausdorff 测度
• 4.6 关于SOSC 的两个注记
• 4.6.1 满足 OSC 但不满足 SOSC 的迭代函数系的例子
• 4.6.2 构造强开集的一个方法
• 第5章 代数图递归迭代函数系的共轭系统
• 5.1 代数图递归迭代函数系
• 5.1.1 β-tiling 和原子表面
• 5.1.2 主要结果
• 5.2 共轭系统
• 5.2.1 图递归迭代系统系的扩张系统
• 5.2.2 代数共轭系统
• 5.2.3 由代数共轭构造原子表面
• 5.3 Rd 中的三个系统
• 5.3.1 直和分解和投影
• 5.3.2 Rd 中的扩张系统
• 5.3.3 扩张系统的投影
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果