偏微分方程的小波求解法及其在燃烧计算中的初步应用

偏微分方程的小波求解法及其在燃烧计算中的初步应用

论文摘要

小波变换作为一种数学工具,可提供时域和频域的多分辨多尺度分析,具有“数学显微镜”的美誉,同时具有深刻的理论性和很强的应用性。虽然目前小波求解偏微分方程的相关理论尚未成熟,但是小波函数和小波变换的完美数学特性使其在数值计算领域显示出巨大的应用潜力,日益受到科学家和工程师的青睐。本论文吸收了近年来小波分析在数值计算领域的研究成果,针对航天领域的燃烧数值计算问题,充分利用小波分析的良好时频特性和多尺度分层非线性逼近功能,融合了高精度高分辨率数值差分格式,提出了第二代插值提升小波与WENO5M高精度数值格式相融合的动态小波配点法,并研究了该算法在多组分燃烧计算中的应用问题。本文重点研究了如下五个方面的内容,即1.研究了小波的相关基础理论,探讨了小波和多分辨分析的基本特性以及重要的性能指标,分析了Daubechies小波函数及其自相关函数的良好特性。2.研究了小波非线性逼近技术。首先研究了小波多尺度、自适应非线性逼近的相关理论及其良好性质;其次较详细地给出了小波级数变换、Mallat快速算法和导数算子的小波表示方法;然后针对小波求解偏微分方程问题,研究了离散点的多分辨分析和小波动态自适应配点法,并将此递推迭代算法转化为矩阵运算,提出了适合编程运算的数值求解方法;最后通过经典的非线性Burgers方程,验证了算法的正确性和有效性。3.研究了区间样条小波求解偏微分方程的多层配点法。首先论述了Sobolev空间H~2(Ⅰ)上的三阶样条小波的多分辨分析,分析了区间样条尺度函数和小波函数的优良特性;然后基于区间样条小波良好的插值逼近性质,给出了多尺度逼近的并行算法;最后采用经典算例验证了区间样条小波求解偏微分方程的有效性和正确性。4.提出了第二代插值提升小波和WENO5M格式相融合的偏微分方程数值算法。首先研究了插值小波、双正交小波和第二代提升小波理论的构造框架;其次分析了高精度、高分辨的WENO5M数值格式:然后提出了融合第二代小波和WENO5M格式的小波动态自适应配点法;最后采用几个经典算例验证了该算法的有效性和正确性。5.研究了小波分析在多组分燃烧计算中的应用问题。首先给出了多组分燃烧过程的动力学模型,建立了含有化学反应的多组分流的控制方程组;然后引入了矢通量分裂算法,给出了Jacobian矩阵特征向量的表达式;最后在综合了Fedkiw和Singh采用的多组分燃烧算法优点的基础之上,采用第二代小波和WENO5M格式结合的小波动态自适应配点法研究了多组分燃烧流动问题,仿真结果表明本文算法的正确性和有效性,同时也说明了小波分析在燃烧数值计算中的巨大潜力。

论文目录

  • 摘要
  • ABSTRACT
  • 第一章 绪论
  • 1.1 小波分析的发展
  • 1.1.1 经典小波
  • 1.1.2 第二代小波
  • 1.2 小波在求解偏微分方程数值方法中的应用
  • 1.2.1 偏微分方程数值解与小波非线性逼近
  • 1.2.2 小波求解偏微分方程
  • 1.2.3 离散数值点的多分辨格式
  • 1.2.4 高精度高分辨率数值格式
  • 1.3 小波在燃烧计算中的应用
  • 1.4 本文的主要工作
  • 第二章 小波基础知识
  • 2.1 Fourier分析
  • 2.2 小波以及多分辨分析
  • 2.2.1 多分辨分析
  • 2.2.2 小波函数
  • 2.2.3 尺度函数与小波函数的性质
  • 2.3 Daubechies小波函数及其自相关函数
  • 2.3.1 Daubechies小波
  • 2.3.2.Daubechies小波的自相关函数
  • 2.4 本章小结
  • 第三章 小波逼近技术
  • 3.1 引言
  • 3.2 函数逼近
  • 3.2.1 线性逼近
  • 3.2.2 小波非线性逼近
  • 3.3 小波级数变换与Mallat算法
  • 3.3.1 函数的正交小波分解和多尺度逼近
  • 3.3.2 快速算法
  • 3.3.3 函数数值形式的多尺度分解和重构
  • 3.4 导数算子的小波表示
  • 3.5 离散点的多分辨分析
  • 3.6 动态自适应小波配点法
  • 3.6.1 函数逼近
  • 3.6.2 配点选取
  • 3.6.3 小波系数计算
  • 3.6.4 动态自适应
  • 3.6.5 数值实验
  • 3.7 本章小结
  • 第四章 偏微分方程的区间样条小波求解法
  • 4.1 引言
  • 4.2 区间样条小波函数
  • 4.2.1 基本定义
  • 4.2.2 区间样条尺度函数
  • 4.2.3 区间样条小波函数
  • 4.2.4 函数的近似表示
  • 4.3 小波离散变换以及实现
  • 4.3.1 插值算子
  • 4.3.2 小波离散变化
  • 4.3.3 函数展开和导数矩阵
  • 4.4 区间样条小波与求解偏微分方程
  • 4.5 数值实验
  • 4.6 本章小结
  • 第五章 第二代小波求解偏微分方程
  • 5.1 引言
  • 5.2 插值小波
  • 5.3 双正交小波
  • 5.3.1 双正交多尺度分析
  • 5.3.2 双正交小波的构造与提升格式
  • 5.4 二维小波
  • 5.5 WENO5M差分格式
  • 5.6 第二代小波求解偏微分方程
  • 5.7 本章小结
  • 第六章 小波在燃烧数值计算中的应用
  • 6.1 引言
  • 6.2 燃烧过程动力学模型
  • 6.2.1 二维Euler方程
  • 6.2.2 二维N-S方程
  • 6.3 矢通量分裂算法
  • 6.3.1 一维Euler方程的Jacobian矩阵
  • 6.3.2 二维Euler方程的Jacobian矩阵
  • 6.3.3 多组分气体的二维Euler方程的Jacobian矩阵
  • 6.4 应用算例
  • 6.5 本章小结
  • 结束语
  • 致谢
  • 参考文献
  • 作者在学期间取得的学术成果
  • 相关论文文献

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