套子代数上几类线性映射的研究

论文摘要

算子代数理论产生于20世纪30年代,由于它在数学和其它学科中的广泛应用,从而得到了很大的发展。非自伴算子代数与其它数学分支有着各种紧密的联系,因此很快成为算子代数的一个重要分支。其中套代数是一类最重要的非自伴非半素的算子代数,它的有限维模型是上三角块矩阵代数,而无限维情形则要复杂得多。对于套代数上一些线性映射的研究,已有许多一系列深刻漂亮的结果。本文首先在Bre（?）ar和（?）emrl等结论的基础上进一步在von Neumann代数中的任意套对应的套子代数上研究了作用在幂等元上分别是Jordan导子和广义Jordan导子的一类线性映射,同时研究了因子von Neumann代数中套子代数及任意套代数上的一些线性映射。针对套子代数上已有的一些线性映射的研究,在本文最后我们对一类特殊的矩阵代数上的局部线性映射进行了刻画。本文共分为四章。 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号,定义及其一些已知的结论等。我们首先介绍了一些符号表示的意义,以及导子,广义导子,局部导子,局部广义导子,双局部导子,保核值映射,套及套代数等概念。最后给出一些已有的分别与Jordan导子和广义Jordan导子相互等价的引理及有关von Neumann代数中的一些熟知的定理。 第二章我们对von Neumannn代数M中的任意套β对应的套子代数algMβ到M上的弱连续的线性映射θ进行了研究。分别得出对任意幂等元E∈algMβ,若θ（E）=θ（E）E+Eθ（E）,则θ是algMβ上的一个Jordan导子;若θ（E）=θ（E）E+Eθ（E）-Eθ（I）E,则θ是algMβ上的一个广义Jordan导子。进而对任意有限套β对应的套代数algβ到B（H）的范数连续的线性映射θ有同样的结果成立。这推广了Bre（?）ar和（?）emrl的结论。 第三章分别对因子von Neumann代数中的套子代数和任意套子代数上的半局部线性广义导子和线性保核值映射进行了研究。同时还在因子von Neumann代数M中的套子代数algMβ上证明了如果φ:algMβ→M是一个线性映射,且对任意A∈algMβ有φ（A）=XAY,其中X,Y∈M。那么φ是一个广义内导子当且仅当存在投影P∈β使得X=λP+XP⊥,Y=μP⊥+PY,其中λ,μ∈C。 第四章我们对矩阵代数M3（C）中的子代数CI+span{E12,E13,E23}上的局部线性映射进行了刻画,其中{Eij}（i=1,2;j=2,3）表示M3（C）中的一簇矩阵单位,并给出此代数上的几种线性映射成立的等价条件。

论文目录

• 前言
• 第一章 预备知识
• §1.1 基本概念
• §1.2 预备引理
• 第二章 套子代数上的Jordan导子和广义Jordan导子
• §2.1 引言
• §2.2 套子代数上的Jordan导子
• §2.3 套子代数上的广义Jordan导子
• 第三章 套子代数上的半局部广义导子和广义内导子
• §3.1 引育
• §3.2 套子代数上的半局部广义导子
• §3.3 套子代数上的广义内导子
• 3（C）中子代数上的局部线性映射的刻画'>第四章 M³（C）中子代数上的局部线性映射的刻画
• §4.1 引言
• 3（C）中子代数上的局部线性映射的刻画'>§4.2 M³（C）中子代数上的局部线性映射的刻画
• 总结
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间的研究成果