论文摘要
孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子体物理，非线性光学，经典场论等领域有着广泛的应用。尽管近年来孤立子方程的理论研究已经取得了丰硕的成果，例如反散射法的发展和应用，但是，数值方法仍是研究孤立子方程必不可少的重要手段。本论文致力于研究孤立子方程的数值方法，我们研究了关于著名的Kortewegde Vries方程的两个二维扩展方程：Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程和Zakharov-Kuznetsov（ZK）方程，这两个方程都是2+1维的孤立子方程。关于这两个方程，前人已经给出了一些数值研究。最近，Marsden和Bridges等人先后从不同的角度提出了多辛结构和多辛格式的概念。众所周知，有两个基本的多辛格式：Preissman格式和Euler box格式。其中Preissman格式是紧致的，而Eulerbox格式是非紧致的。最近一段时间内，关于Preissman格式的研究相当多，也取得了很多重要的成果。大量数值实验验证了Preissman格式在长时间运算上的高效性。但是对于Euler box格式研究较少，我们不禁有这样的疑问，在长时间运算上，非紧致的Euler box格式是否有和Preissman格式一样好的数值表现。该问题对于多辛格式的理论发展和实际应用都非常重要，分析和验证多辛Euler box格式的优越性本身就是在完善多辛格式理论，同时也说明多辛结构的保持对偏微分方程的数值方法的性能提高有很大的帮助，增加了人们广泛应用多辛格式的信心。因此，本文讨论了KP方程和ZK方程的多辛Euler box格式，分别得到了两个方程各自的一个新的多辛格式。在本文中，我们在前人已经将这两个方程写成了多辛形式的基础上，把Euler box格式应用到了这两个方程中，分别得到了一个新的多辛格式，16点格式和10点格式。这两个格式具有以下优点：对非线性项不需要进行迭代，在这个意义下，这两个格式都是显格式，而由Preissman格式出发得到的格式都是全隐格式，因此，Euler box格式较Preissman格式更易于在计算机上实现，运行速度更快。关于这两个格式的后误差分析显示，其修正方程不是多辛的，但却是关于修正结构的多辛偏微分方程的一个高阶逼近。最后，给出了一些数值实验，结果证明，非紧致的Euler box格式的数值表现在长时间运算上和紧致的Preissman格式一样优秀。