平面代数曲线结构的研究

论文摘要

代数曲线是指由多项式f ( x , y ) = 0所确定的点集所形成的点的轨迹。代数曲线的计算有很多不同的内容。一方面,是代数曲线本身的一些变量和不变量之间的关系。比如,曲线的奇点及其个数的计算、切线及其条数的计算、局部阶的计算、曲线的分支(branch)数的计算、曲线的隐式化和参数化计算、曲线的结构的研究等,这些都是最基本的一些计算内容。另一方面是代数曲线之间的一些量的计算,比如曲线求交,即求两曲线的交点及其个数等;求等距线等。本文对代数曲线的结构进行研究。对于一个多项式所确定的代数曲线的具体形状大部分是比较难以一目了然的,尤其是当有某些复杂点、比如奇点等的时候,其结构就相对来说更加复杂了。而代数曲线有很多实际的用处,比如机械、建筑、电子线路、服装、动画等方面都会用到。因此,对平面代数曲线结构的研究有很多的现实意义。本文就三个方面来探讨平面代数曲线结构方面的研究。其一是现有的求平面代数曲线拓扑的一些方法;其二是,利用Bézier的良好性质,用比二次Bézier曲线更具有一般性的三次Bézier曲线来近似估计实平面代数曲线。其算法包括两步:把代数曲线分割成三角凸之并,然后对每一个三角凸曲线段用三次Bézier曲线来估计;其三,在研究代数曲线的拓扑结构的较多算法中,这些算法对奇点都是要求能显式表示的。本文用互素和整相关的一些定理来分离多项式组,并用Puiseux级数的方法来参数化局部分支,从而来确定在奇点附近代数曲线的近似结构。并着重分析了奇点不能显式表示的情况。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 引言
• 1 基础知识
• 2 平面代数曲线结构的研究
• 2.1 拓扑确定
• 2.2 用三次BéZIER 曲线近似估计隐式实平面代数曲线
• 2.2.1 曲线分割
• 2.2.2 曲线估计
• 2.2.3 误差估计
• 2.3 代数曲线奇点处结构的确定
• 2.3.1 奇点的表示
• 2.3.2 奇点附近分解代数曲线成局部分支示
• 2.3.3 用Puiseux 级数参数化局部分支
• 2.3.4 根据局部分支的参数形式确定分支的近似结构
• 2.3.5 实例
• 3 小结
• 参考文献
• 在学研究成果
• 致谢