论文摘要
低差分一致性函数可分为几乎完全非线性（almost perfect nonlinear, APN）函数、完全非线性（perfect nonlinear, PN）函数和其它低差分一致性函数.它们在密码学和代数学中都有广泛的应用.本文构造和分析了一批低差分一致性函数,具体成果如下:在第二章中,由已知的APN幂函数特例归纳出奇特征域中的两类APN幂函数,并以二次特征和Dickson多项式为工具给出证明.新的APN函数可用来解释Helle-seth提出的两种公开情况,并且可用来证明Dobbertin猜想.最后,将前面提出的两类APN函数加以推广,得出特定形式下幂函数的差分一致属性.在证明过程中创造性地引入Dickson多项式来求解方程,使得方程的求解变得简单可行.在第三章中,首先讨论了特征为2的域中已知的几类APN多项式函数的等价性质,接着给出了一类新的APN多项式函数,并进一步分析了它的bent属性.该APN函数不Carlet-Charpin-Zinoviev （CCZ）等价于Dobbertin函数,且在特定条件下不等价于已知的函数.其次,将特征为3的域中一类已知的APN函数推广到奇特征域中,新的APN函数包含已知的APN函数为特例.最后,利用线性多项式和迹函数,通过引入中间变量的方法计算了一大类APN函数的Walsh谱.计算结果表明该类函数的Walsh谱和Gold函数的Walsh谱相同,从而确定了它们的非线性度,而函数的非线性度可以衡量其抗线性分析能力.在第四章中,将已知的APN多项式函数推广到奇特征域中,加上特定的条件而得出几类PN多项式函数,且证明了其中两类PN函数不CCZ等价于已知的PN函数,由此给出了两类半域.在特定的条件下,所构造的半域也与已知的半域不合痕.我们在证明过程中给出了判断CCZ等价和扩张仿射（extended a?ne, EA）等价的一种方法.最后,讨论了特定条件下Dillon多项式的差分一致性.在第五章中,结合前面的工具和方法,构造了几类低差分一致性函数.我们注意到除了Edel和Pott最近发现的APN函数外,其它已知的APN多项式函数都是二次的,而且在F22n中还没有发现APN置换函数.我们构造的低差分一致性函数不限于二次,而且具有置换特性,从而给设计和构造S盒提供了更多的方法.在第3节中,引入了几乎低差分一致性概念,并构造了几类几乎低差分一致性函数.