半模的投射性、平坦性与局部化

论文摘要

本文主要研究投射半模和平坦半模等一些重要的半模类,以及基本的半模函子,如态射函子和张量函子。讨论分式半模与半模的局部化。全文共分三个部分。 在第一部分,首先研究Hom函子与直积上积的关系,主要得到同构HomR(（?）i∈IUi,MS)≌∏i∈IHomR（Ui,MS）和Homn(MS,∏i∈IUi)≌∏i∈I,HomR（MS,Ui）关于变量MS是自然的。然后利用同余关系,讨论Hom函子与投射半模的关系。主要结果是:若P为左R-半模,则P是投射R-半模当且仅当HomR（P,-）是共变的同余正合函子当且仅当对于任意左R-半模M上的任意同余ρ和同态α∶P→M/ρ,都存在同态（?）:P→M,使α=πρ（?）,这里πρ:M→M/ρ。 在第二部分,利用改进后的张量积定义首先获得三个主要结论:投射半模都是平坦的;对于半环R的理想I和左R-半模M,R/I（?）R M≌M/IM;如果右R-半模M的每个有限生成子半模都是平坦的,则M是平坦右R-半模。进一步,我们证明正向极限是一个从正向系范畴到半模范畴的共变正合函子,以及平坦半模正向系的正向极限也是平坦的。 最后,在第三部分,首先改进原有的分式半环的运算,使得分式半环中的运算更具合理性,接着定义分式半模,讨论分式半模和分式化函子及其与张量积的关系。最后,研究半模的局部整体性质,主要结果是:在交换半环R上,半模F是平坦R-半模当且仅当,对R的任意索理想P,FP是平坦RP-半模,当且仅当,对R的任意极大理想P,FP是平坦RP-半模,这些结果也推广了模论中的经典结论。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 引言
• 一 Hom函子与投射半模
• （一） 基本概念和引理
• （二） Hom函子与直积上积的关系
• （三） Hom函子的同余正合性与投射半模
• 二 张量函子、正向极限与平坦半模
• （一） 张量函子与平坦半模
• （二） 正向极限与平坦半模
• 三 半模的局部化与平坦性
• （一） 分式半环
• （二） 分式半模
• （三） 半模的局部整体性质
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间发表的学术论文