q-组合恒等式

论文摘要

基本超几何级数最早是在1748年由欧拉（Euler）开始研究。但是在一百多年之后当海因（Heine）得到了对应于高斯（Gauss）的2F1超几何级数的2φ1的形式，基本超几何级数（又称q-级数）才渐渐形成独立的研究方向。十九世纪到二十世纪，L．Rogers，F．H．Jackson，A．C．Dixon，J．Dougall，L．Saalschütz，F．J．W．Whipple，G．N．Watson，W．N．Bailey和J．A．Daum等数学家们的研究工作对基本超几何级数的发展起到重要作用。近年来，基本超几何级数已经开始应用到纯数学和应用数学以及其它学科中。G．E．Andrews和N．J．Fine更是将基本超几何级数应用到数论、微分方程、李代数、组合、统计和物理等学科领域。 本文主要内容是关于q-正整数和q-对偶序列的研究以及它们在基本超几何级数中的应用。首先，我们在第一章简要介绍超几何级数和基本超几何级数的发展历程。为了便于展开本文的主要结果，文中所用到的基本概念、经典定义以及基本恒等式和常用的恒等式变换也在第一章里列出。 在第二章，我们先简要介绍M．Lassalte提出的一类新的正整数。q-正整数是指一个q-多项式关于q的系数都是正整数。我们主要利用q-二项式定理和Sears的两个关于3φ2的变换公式，得到两类新的q-正整数。这些q-正整数可以扩展为多个q-二项式乘积展开式的系数的一种特殊情况。 对偶序列及其多项式的性质已经在孙智伟教授的论文中进行了研究。Kaneko，Momiyama和Wu等人也曾给出了关于贝努利（Bernoulli）数和贝努利多项式的递归关系和对称关系式。在第三章里我们对以上结果进行q-模拟，得到q-对偶序列及其在基本超几何级数上的应用，并且利用Carlitz和Al-Salam对q-贝努利数和q-贝努利多项式的定义得到q-贝努利数和q-贝努利多项式的相应的关系式。 另外，为了方便读者，在附录里我们列出了本文所使用的一些重要的恒等式和变换公式。

论文目录

• Abstract （in Chinese）
• Abstract （in English）
• Table of contents
• 1 Introduction
• 1.1 Hypergeometric series
• 1.2 Basic hypergeometric series
• 1.3 The q-binomial theorem
• 2φ1 series'>1.4 Heine's transformation formulas for_2φ1series
• 1.5 q-Chu-Vandermonde's formula
• 3φ2'>1.6 Sears' transformation formulas for_3φ2
• 2 Two new families of q-positive integers
• 2.1 A new family of positive integers
• 2.2 q-Positive integers
• 2.3 Further extensions
• 3 q-Dual sequences with applications
• 3.1 Combinatorial identities in dual sequences
• 3.2 q-Dual sequences
• 3.3 A q-analog of Sun's main theorem
• 3.4 Applications of q-dual sequences
• Acknowledge
• Bibliography
• Appendices
• A. q-Shifted factorials
• B. Sums of basic hypergeometric series
• C. Transformations of basic hypergeometric series
• Resume