解微分代数方程的波形松弛方法

论文摘要

本文首先综述了波形松弛方法的起源,发展和现状,其中包括方法的基本思想和应用领域。然后我们主要研究解线性微分代数方程的波形松弛方法,包括连续时间情形和离散时间情形的波形松弛方法。波形松弛方法是一种具有良好并行性的方法,它被广泛应用于常微分方程系统,微分代数系统,延迟微分动力系统,泛函微分动力系统,热传导方程,双曲型微分方程,对流-扩散方程,随机微分动力系统等的数值求解中。波形松弛方法是一种动态迭代方法,在应用其求解各种问题时,首先要考虑的是它的收敛性,包括连续情形和离散情形的收敛性。与连续波形松弛方法收敛性紧密相关的是它的分裂函数,而离散波形松弛方法的收敛性不仅依赖于连续情形的收敛性,而且还与离散方法的稳定性有关。本文我们主要研究方法的收敛性,即对反映方法收敛性态的迭代算子谱半径进行研究和分析。文中,我们首先总结前人求解1指标的线性微分代数方程组的连续波形松弛方法的主要结果,并且用不同方法给出连续时间波形松弛算子谱半径和文献相同的表达式。此外,我们还给出一类连续波形松弛算子在无限时间区间上的谱半径表达式和收敛性结果。随后,我们主要研究离散波形松弛方法的收敛性。包括求解微分代数系统的线性多步方法,Runge-Kutta方法,边值方法和分块边值方法的波形松弛方法。由于微分代数系统的刚性性质,我们主要研究具有良好稳定性质的隐式方法,其中边值方法是具有良好稳定性质和阶精度的新方法。对于线性多步方法的波形松弛迭代,我们结合离散方法的稳定性性质,分析算子的谱半径,给出方法的收敛性结果。对于解1指标的线性微分代数系统的Runge-Kutta方法,边值方法和分块边值方法的波形松弛迭代,我们首次给出了算子谱半径的表达式,并且结合离散方法的稳定性质给出了方法的离散波形松弛迭代的收敛性结果。最后,我们进行数值实验,数值结果很好地验证前面给出的结论。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 概述
• 1.2 波形松弛方法的应用领域和研究现状
• 1.3 本文的主要工作
• 2 连续时间波形松弛方法
• 2.1 波形松弛方法迭代格式
• 2.2 收敛性分析
• 3 线性多步法和Runge-Kutta方法的波形松弛迭代收敛性分析
• 3.1 线性多步方法
• 3.2 线性多步方法的波形松弛迭代收敛性分析
• 3.3 Runge-Kutta方法
• 3.4 Runge-Kutta方法的波形松弛迭代收敛性分析
• 4 边值方法和分块边值方法的波形松弛迭代收敛性分析
• 4.1 边值方法
• 4.2 边值方法的波形松弛迭代收敛性分析
• 4.3 分块边值方法
• 4.4 分块边值方法的波形松弛迭代收敛性分析
• 5 数值试验
• 5.1 具体离散方法及其稳定区域图
• 5.2 具体实例及其计算结果
• 6 总结与展望
• 致谢
• 参考文献