迭代矩阵的谱分析

论文摘要

计算科学与工程中的许多问题最后都归结为对线性代数方程组和矩阵特征值问题的求解．因此，对这两个问题求解方法的研究是科学与工程计算的核心问题之一，具有极其重要的理论意义和实际应用价值．本文深入地研究了与稀疏线性代数系统迭代求解有关的几类特殊矩阵特征值的相互关系和不同的迭代法．特别地，给出了一些迭代法的比较理论，p-循环情况下不同迭代矩阵的特征值关系，定常迭代法预条件技术及其比较理论．讨论了著名的Stein-Rosengberg定理及其推广形式，给出MPSD迭代法中几类迭代矩阵与Jacobi迭代矩阵谱半径的比较，指出在特定条件下Jacobi迭代矩阵的谱半径更小，丰富了Stein-Rosengberg定理的内涵，完善了Stein-Rosengberg定理的内容．研究了p-循环矩阵，给出p-循环情况下MPSD迭代矩阵，GMPSD迭代矩阵及GUSAOR迭代矩阵与Jacobi迭代矩阵的特征值比较关系，优于相关文献的结果，特别是R．S．Varga在名著<<Matrix Iterative Analysis>>中的特征值关系．研究了几种定常迭代法的预条件技术：（1）提出Upper Jacobi与Upper Gauss-Seidel型迭代法；在特定的预条件矩阵下，给出预条件Upper Jacobi与Upper Gauss-Seidel型迭代法与对应的初始迭代法的比较关系及Upper Jacobi与Upper Gauss-Seidel型迭代法的比较关系；（2）给出AOR迭代法在文献[106，107]提出的预条件矩阵下的比较关系；（3）给出Gauss-Seidel迭代法在文献[107，111]提出的预条件矩阵下的比较关系．

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 研究现状
• 1.2.1 迭代矩阵谱半径关系
• 1.2.2 p-循环及相容次序矩阵的特征值关系及应用
• 1.2.3 迭代法及其预条件基本思想
• 1.3 主要研究内容、方法和创新点
• 1.4 论文的结构
• 第二章 广义迭代法的广义Stein-Rosenberg定理
• 2.1 引言
• 2.2 Stein-Rosenberg定理
• 2.3 几类迭代矩阵谱半径的关系（Stein-Rosengberg定理的推广）
• 2.4 几类迭代法与Jacobi迭代法的敛散关系
• 2.5 数值实验
• 2.6 小结
• 第三章 p-循环及相容次序情况下迭代矩阵的特征值
• 3.1 引言
• 3.2 SOR与Jacobi迭代矩阵的特征值关系
• 3.3 MPSD与Jacobi迭代矩阵的特征值关系
• 3.4 GMPSD与Jacobi迭代矩阵的特征值关系
• 3.5 GUSAOR与Jacobi迭代矩阵的特征值关系
• 3.6 小结
• 第四章 Gauss-型预条件技术
• 4.1 引言
• 4.2 基于矩阵分裂的迭代法
• 4.3 预条件迭代法
• 4.3.1 Upper Jacobi与Upper Gauss-Seidel-型预条件
• 4.3.2 AOR-型预条件技术比较
• 4.3.3 Gauss-Seidel-型预条件技术比较
• 4.4 数值实验
• 4.5 小结
• 第五章 结论
• 致谢
• 参考文献
• 攻读博士学位期间的研究成果