论文摘要
本文研究如下的初边值问题：和方程（1）的初边值问题其中α＞0，b＞0为常数，φ（x）和ψ（x）为给定的初值函数，f（s）表示给定的非线性函数，下标x和t分别表示对x和t求偏导数．方程（1）是一类非线性波动方程，它主要描述在具有色散效应的介质中带有粘性耗散的波的传播，也可以描述一维弹性杆的纵振动问题．本文分三章：第一章为引言；第二章研究初边值问题（1）-（3）和初边值问题（1），（4），（5）的整体广义解和整体古典解的存在性和惟一性；第三章给出问题（1）-（3）和问题（1），（4），（5）的解爆破的充分条件．主要结果如下：定理1设f∈C2（R）且存在常数C0使得对任意的s∈R，成立f′（s）≥C0，φ∈H4[0，1]，ψ∈H2[0，1]，且φ（x），ψ（x）满足边值条件（2），则初边值问题（1）-（3）存在惟一的整体广义解u∈C（[0，T]；H4[0，1]）∩C1（[0，T]；H2[0，1]）∩C2（[0，T]；L2[0，1]），（6）其中u（x，t）在广义意义下满足边值条件（2），在古典意义下满足初始条件（3）．定理2若f∈C4（R），f″（0）=0，且存在常数C0使得对任意的s∈R，成立f′（s）≥C0，φ∈H4[0，1】，ψ∈H2[0，1]，且φ（x），ψ（x）满足边值条件（2），则初边值问题（1）-（3）存在惟一的整体古典解u∈C（[0，T]；C4[0，1]）∩C1（[0，T]；C2[0，1]）∩C2（[0，T]；C[0，1]），（7）其中u（x，t）在古典意义下满足边值条件（2）和初始条件（3）．定理3设f∈C2（R）且存在常数C0使得对任意的s∈R，成立f′（s）≥C0，φ∈H4[0，1]，ψ∈H2[0，1]，且φ（x），ψ（x）满足边值条件（4），则初边值问题（1），（4），（5）存在惟一的整体广义解u∈C（[0，T]；H4[0，1]）∩C1（[0，T]；H2[0，1]）∩C2（[0，T]；L2[0，1]），（8）其中u（x，t）在广义意义下满足边值条件（4），在古典意义下满足初始条件（5）．定理4若f∈C4（R）且存在常数C0使得对任意的s∈R，成立f′（s）≥C0，fi（0）=0，（i=2，4），φ∈H7[0，1]，ψ∈H5[0，1]，满足边值条件（4），则初边值问题（1），（4），（5）存在惟一的整体古典解u∈C（[0，T]；C4[0，1]）∩C1（[0，T]；C2[0，1]）∩C2（[0，T]；C[0，1]），（9）其中u（x，t）在古典意义下满足边值条件（4）和初始条件（5）．定理5 （1）设b=1／2，f（s）s≤KF（s），F（s）≤-β|s|n+1，其中F（s）=integral from n=0 to s f（Υ）dΥ，K＞2，β＞0，n＞1是常数．（2）φ∈H4[0，1]，ψ∈H2[0，1]，且则问题（1）-（3）的广义解或古典解u（x，t）在有限时刻（?）爆破，即t→（?）-，其中‖·‖表示L2[0，1]的范数．定理6设u（x，t）是初边值问题（1），（4），（5）的广义解或古典解，且下列条件成立：（1）（2）f（s）∈C2（R）是一个凸的偶函数，且满足f（0）=0，f（A1）-απ2A1≥0，（3）积分收敛，且β＜1，则其中