论文摘要
亚椭圆算子是数学中常见的一类重要算子,本文是通过一类由微分形式定义的算子,来研究光滑流形上微分形式的亚椭圆性。 亚椭圆算子的例子是丰富的,首先Laplace算子和常系数的二阶椭圆算子都是亚椭圆的,著名的H（?）rmander平方和算子在满足H（?）rmander条件时也是亚椭圆的,2002年Taishi Shimoda在S3,S7,S15上还构造出处处不满足H（?）rmander条件的亚椭圆微分算子,这些都是二阶亚椭圆算子中的典型例子。同样也存在着一阶的亚椭圆算子,特别地,光滑流形上的向量场作为作用在函数空间上算子,其亚椭圆性也已经有了广泛的研究。1972年,S.J.Greenfield和N.R.Wallach研究了环T2上常系数的向量场L=（?）x+λ（?）y是亚椭圆的充要条件是λ既不是有理数也不是Liouville数。而向量场和微分形式是对偶的,所以同样可以考虑其亚椭圆性问题,A.Meziani讨论了闭流形上非平凡闭形式的亚椭圆性,而球面S3上的接触形式虽然不是闭形式,但也是亚椭圆的,这就说明在一些情况下,流形上还存在非闭的亚椭圆微分形式。本文正是从此着手,利用遍历理论和偏微分方程的可解性,讨论一般微分形式的亚椭圆性问题。重点给出了环T2上变系数的光滑1形式和Tn上（n-1）形式是否是亚椭圆的充要条件,Tn上常系数p形式的亚椭圆性判别依据,亚椭圆微分形式的存在拓扑障碍。所得结论表明:流形自身的拓扑结构对微分形式的亚椭圆性有着较强的限制。 全文共分为六章。第一章主要介绍问题的背景和研究的意义,以及所得到的结论;第二章是相关的基础知识和亚椭圆微分形式的几个具体实例;第三章讨论了含有亚椭圆微分形式的偏微分方程的可解性问题;第四章证明了Tn上光滑（n-1）形式是亚椭圆的充要条件;第五章给出并证明了T2上光滑形式ω=dx+λ（x,y）dy是亚椭圆的充要;第六章讨论了亚椭圆微分形式与流形的第一Betti数之间的关系。
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