NUAT B样条基的显式表示及其性质

论文摘要

NUATB样条曲线是基于空间span{1,t,…,tk-3,cost,sint}生成的样条曲线,它具有与B样条曲线几乎一摸一样的性质,而且它能精确表示圆弧,椭圆弧,螺旋线等被广泛应用的曲线。本文分简单节点与多重节点两种情况分别讨论了NUAT B样条基的显式表示以及其面积的计算问题。作为简单节点的特例,本文还讨论了均匀节点下的NUATB样条基到幂基的转换矩阵,并给出求得该矩阵的算法。对于简单节点序列情形,本文首先构造了一截断函数,利用截断函数行列式得到了三角样条函数空间中具有有限支柱函数空间的一组基,从而确定NUAT B样条基与该行列式只相差一个常数。通过研究截断函数行列式的性质,我们将其化简得到类范德蒙行列式形式,而后通过对类范德蒙行列式的性质的研究最终确定了系数,从而将NUAT B样条基精确显式表示出来,同时利用类范德蒙行列式的计算公式得到了类范德蒙行列式面积的一个简单的计算方法。特别地,利用简单节点的结果本文得到了均匀节点序列下的NUAT B样条基的显式表达式及面积,并用此显式表达式给出来了其到幂基的转换矩阵。通过对此时的类范德蒙行列式的进一步研究,得到了求解该幂基转换矩阵的一个快速算法。对于多重节点序列情形,同样利用一个截断函数构造了类似的截断函数行列式,采用类似于简单节点的方法可以将其化简到广义类范德蒙行列式。通过研究广义类范德蒙行列式的性质确定类范德蒙行列式与截断函数行列式之间的系数,也得到了关于截断函数矩阵的面积表达式。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 CAGD发展概述
• 1.2 混合曲线的产生与发展
• 1.3 预备知识
• 1.3.1 代数三角样条空间
• 1.3.2 NUAT B样条基的积分定义及其性质
• 1.3.3 范德蒙行列式计算及函数差商性质
• 第二章 非均匀简单节点序列NUAT B样条基的显式表示及其性质
• κ[T]中（?）族截断函数的构造及其性质'>2.1 Ω_κ[T]中（?）族截断函数的构造及其性质
• κ[T]中具有有限支集函数空间的维数'>2.2 Ω_κ[T]中具有有限支集函数空间的维数
• κ[t_i,t_i+κ]中元素的构造与性质'>2.3 C^κ[t_i,t_i+κ]中元素的构造与性质
• 2.4 类范德蒙行列式的性质
• 2.5 简单节点序列NUAT B样条基函数的显式表示
• 2.6 NUAT与B样条基显式表示的比较
• 第三章 UAT B样条基的显式表示及幂基转换矩阵
• 3.1 UAT B-样条基的显式表示
• 3.2 幂基转换矩阵
• 3.3 转换矩阵的计算
• 第四章 多重节点序列下的NUAT B样条基的显式表示及其性质
• κ[T]中具有有限支集函数空间的维数'>4.1 Ω_κ[T]中具有有限支集函数空间的维数
• κ[t_i,t_i+κ]中元素的构造与性质'>4.2 C^κ[t_i,t_i+κ]中元素的构造与性质
• 4.3 广义类范德蒙行列式
• 4.4 多重节点下的NUAT B样条基的显式表示
• 第五章 总结与展望
• 参考文献
• 致谢