有限元方法在非线性发展方程中的应用

论文摘要

发展方程（evolution equation）[1]又称为演化方程或进化方程,在物理、力学和其它自然科学的研究中有着非常重要的作用。在科学与技术的发展中提出了种种发展方程的求解问题,然而在绝大多数情形,这些问题的解不能用解析的公式表达出来,或者表达式过于复杂,因而需要采用数值方法去计算它们的近似解。20世纪中、后期发展起来的有限元方法,成为偏微分方程（包括发展方程在内）近似求解的一个强有力的工具,尤其对于处理不规则区域上以及一般边值条件的偏微分方程定解问题具有显著的优越性。论文就是在有限元方法的基础上,致力于有限元方法中特征有限元法和Fourier谱方法的研究。首先,在第一章中介绍了有限元方法的研究背景、发展状况以及应用一般有限元法求解数学物理问题的过程,继而介绍了论文中所采用的主要方法,即特征有限元法和Fourier谱方法。其次,在第二章分别就特征有限元法和Fourier谱方法阐述了相关概念和理论。然后,针对非线性对流占优对流扩散方程建立了特征有限元格式,通过引入精确解的辅助投影给出该格式关于L2 （Ω）及H 1（Ω）的误差估计及最优阶误差估计,从而论证了论文中所建立的特征有限元格式的有效性。最后,对于非线性Schr?dinger方程周期边值问题建立了保持能量守恒的半离散和全离散Fourier谱逼近格式,详细地讨论了全离散格式解的存在唯一性条件,并分别进行了误差估计。由于采用全离散逼近格式得出的离散方程对于每个时间步是非线性代数方程,论文对它提出采用预估-校正算法求解,并用数值试验得到了与理论分析一致的结果。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题研究背景及其发展状况
• 1.2 特征有限元法简介
• 1.3 谱方法的发展及概述
• 1.4 主要方法介绍
• 1.5 论文的主要结果和创新点
• 第2章 预备知识
• 2.1 基础理论及常用不等式
• 2.2 线性对流扩散方程的特征有限元法
• 2.3 Fourier 谱方法的相关知识
• 2.4 本章小结
• 第3章 非线性对流扩散方程的特征有限元分析
• 3.1 引言
• 3.2 相关假设
• 3.3 特征有限元格式
• 3.4 收敛性分析
• 3.5 本章小结
• 第4章 非线性Schr（?）dinger 方程的Fourier 谱方法
• 4.1 引言
• 4.2 半离散 Fourier 谱逼近及其误差分析
• 4.3 全离散 Fourier 谱逼近
• 4.4 数值试验
• 4.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果
• 致谢
• 作者简介