计算非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧方法

论文摘要

本文讨论如下非线性椭圆型方程边值问题r≥0,Ω是平面上的区域,△pu = div（▽| u|p-2▽u）, ??是?的边界,x = （x1,x2）,x0是?的中心.当p = 2时,方程（0-1）被称为Henon方程.本文提出了求解此类方程的3种算法.算法1.通过引进分歧参数将问题嵌入到一个新的非线性分歧问题,然后根据分歧理论,从该问题关于零解的线性化问题的特征值出发,会出现与相应特征函数对称性相同的非平凡解枝,沿着这条非平凡解枝将分歧参数延拓到0就得到原问题的一个非平凡解.于是我们可以找到尽可能多的具有不同对称性质的变号解.算法2.对于方程中任意给定的参数r,通过Liapunov-Schmidt约化求出近似分歧方程表达式,给出用Newton方法求解该问题的迭代初值后直接求解.从而有效地解决初值选取困难的问题,极大地减少计算的工作量.算法3.从r = 0时问题的对称正解出发,以r为延拓参数,通过延拓得到问题的对称正解解枝.同时监视相应Jacobi矩阵的特征值,在对称解枝上发现对称破缺分歧点,给出扩张系统具体求出对称破缺分歧点,再用解枝转接方法找到具有其它对称性质的正解枝,从而对于某些区间内的r,可以找到多个具有不同对称性质的正解并给出解的图像,在延拓时,若遇到折叠点,我们同样给出计算该折叠点的扩张系统,而且引入拟弧长延拓方法,使解枝顺利通过折叠点,从而完成整条解枝的计算.当p = 2时,此时方程（0-1）被称为p-Laplacian-Henon方程.由于p-Laplacian算子具有更强的非线性性,我们用3种同伦延拓的方法来求解问题（0-1）.算法1. p延拓.取p = 2时问题（0-1）的解作为初值,以p为参数进行延拓,直至p = p?,这里p?是所求问题（0-1）中的p.算法2.同伦延拓.引入参数t把问题（0-1）嵌入到如下问题以t = 1时Henon方程边值问题的解作为初值,通过同伦延拓直至t = 0.从而得到p-Laplacian-Henon方程边值问题的具有各种对称性质的解.算法3.对给定的p,从r = 0时问题（0-1）的对称正解出发,通过r延拓得到问题（0-1）的对称正解枝,监视相应Jacobi矩阵的特征值,发现解枝上的对称破缺分歧点,再用解枝转接方法求出具有其它对称性质的正解枝,从而对于某些区间内的r,找到具有不同对称性质的多个正解.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 我们的研究方法
• 1.2.1 p=2
• 1.2.2 p ≠ 2
• 第二章 计算正方形区域上Henon 方程边值问题的多解
• 2.1 计算Henon 方程边值问题多解的分歧方法
• 2.1.1 Liapunov-Schmidt 约化方法和对称破缺分歧
• 2.1.2 差分格式的等变性
• 2.1.3 数值方法
• 2.1.4 数值结果
• 2.2 计算Henon 方程多个正解的分歧方法
• 4 对称正解的计算'>2.2.1 D₄对称正解的计算
• 4 对称正解枝上对称破缺分歧点的计算'>2.2.2 D₄对称正解枝上对称破缺分歧点的计算
• 2.2.3 Σ 对称解枝的转接
• 2.2.4 数值结果
• 第三章 计算圆域上Henon 方程边值问题的多解
• 3.1 非线性分歧问题O（2） 对称解的L-S 约化
• 3.2 Henon 方程边值问题对称解的计算
• 3.2.1 差分格式的等变性
• 3.2.2 数值方法
• 3.2.3 数值结果
• 3.3 Henon 方程边值问题多个正解的分歧方法
• 3.3.1 数值方法
• 3.3.2 O（2） 对称正解枝上对称破缺分歧点的计算
• 3.3.3 Σ对称解枝的转接
• 3.3.4 数值结果
• 第四章 计算正方形区域上p-Laplacian-Henon 方程的多解
• 4.1 有限元离散方法
• 4.1.1 单元剖分及试探函数空间的构造
• 4.1.2 有限元方程的形成
• 4.2 计算p-Laplacian-Henon 方程边值问题变号解的分歧方法
• 4.2.1 同伦延拓
• 4.2.2 数值方法
• 4.2.3 数值结果
• 4.3 计算p-Laplacian-Henon 方程多个正解的分歧方法
• 4 对称正解的计算'>4.3.1 D₄对称正解的计算
• 4 对称正解枝上对称破缺分歧点的计算'>4.3.2 D₄对称正解枝上对称破缺分歧点的计算
• 4.3.3 Σ对称解枝的转接
• 4.3.4 数值结果
• 第五章 计算圆域上p-Laplacian-Henon 方程边值问题的多解
• 5.1 计算p-Laplacian-Henon 方程边值问题变号解的分歧方法
• 5.1.1 差分格式的等变性
• 5.1.2 延拓
• 5.1.3 数值方法
• 5.1.4 数值结果
• 5.2 p-Laplacian-Henon 方程边值问题多个正解的分歧方法
• 5.2.1 O（2） 对称正解的计算
• 5.2.2 O（2） 对称正解枝上对称破缺分歧点的计算
• 5.2.3 Σ对称解枝的转接
• 5.2.4 数值结果
• 第六章 计算立方体区域上Henon 方程边值问题的多个正解
• 6.1 Liapunov-Schmidt 约化方法和对称破缺分歧
• 6.2 差分格式的等变性
• 4（3） 对称正解的计算'>6.3 D₄（3） 对称正解的计算
• 6.3.1 算法1：对任意给定的r，将分歧参数? 延拓到0
• 6.3.2 算法2：r 作为延拓参数，通过延拓得到问题的D4（3） 对称正解枝
• 4（3） 对称正解枝的延拓及转接'>6.4 D₄（3） 对称正解枝的延拓及转接
• 4（3） 对称正解枝上对称破缺分歧点的计算'>6.4.1 D₄（3） 对称正解枝上对称破缺分歧点的计算
• 6.4.2 Σ对称解枝的转接
• 6.4.3 数值结果
• 第七章 结论与展望
• 参考文献
• 在学期间科研情况
• 致谢