暗孤子微扰理论及其应用

论文摘要

孤子理论是非线性科学的最重要的分支之一，它日益广泛地应用于物理学的许多领域。有精确孤子解的系统通常是高度理想化的，用标准孤子方程来描述，而实际的物理系统与之总会存在一些差别。如果这种差别较小，通常它们被视为微扰来处理，即实际孤子总会受到一些高阶小量的影响。因而，孤子微扰理论在研究实际物理系统时具有很大的实用价值。本文主要研究含微扰的自散焦非线性薛定谔（schr（?）dinger）方程。首先采用改进型半直接方法来处理含微扰的自散焦非线性薛定谔方程。然后发展一种直接的暗孤子微扰方法，它依靠的是完备集的新颖构造，完全摆脱了对逆散射的依赖，即适用于可积系统又适用于非可积系统。与其它方法相比，我们的方法思路和计算较为简便。最后，应用这种系统的微扰方法处理一些非线性光纤中暗孤子的微扰问题。全文共分为五章。在第一章中，我们简单介绍孤子理论、亮孤子和暗孤子微扰问题的研究进展、现状和主要方法。在第二章中，我们介绍基于平方约斯特（Jost）解的暗孤子微扰理论，并对它做了一些改进，并研究了这种暗孤子微扰理论存在的三种表示，我们发现按不同的完备基作微扰展开会得到不同的结果，如不同的孤子速度，不同的一级修正等。然而，数学上却证明了这些形式不同的物理结果本质上是等价的。在第三章中，我们发展了一种直接的暗孤子微扰理论。由微扰的自散焦非线性薛定谔方程出发，引入慢变时间尺度，我们获得矩阵形式的线性算符；通过解这一线性算符的本征值问题，构造一组完备基，并给出完备性和正交性的证明；按完备基展开一级修正解，利用消除“久期”项的条件，给出孤子参数的演化方程并最终得到计算一级修正的公式。在第四章中，我们应用直接的暗孤子微扰方法研究了光纤中两个实际问题，以说明这种方法的应用。首先我们研究光纤媒质的线性增益和双光子吸收对暗孤子的联合影响然后我们研究了光纤中飞秒（femtosecond）短脉冲遵循的高阶自散焦非线性薛定谔方程，考察三阶色散（third-order dispersion），自陡峭（self-steepening）和自频移（self-frequency shift）对暗孤子的影响。用我们的方法得到的结果与以前他人的有些结果是一致的，此外，我们还得到了一些别人不曾得到的结果。在第五章中，介绍我们所做的相关孤子理论问题的研究工作。首先我们简述了玻色-爱因斯坦（Bose-Einstein）凝聚（BEC）研究理论的产生发展及实验研究过程，从凝聚体宏观波函数满足的Gross-Pitaevskii（GP）方程出发，利用变分方法和我们研究玻色-爱因斯坦凝聚问题曾使用的技巧，推导出一个准一维情形下的Gross-Pitaevskii方程，得到一个暗孤波解，讨论横向结构对孤波的影响。其次，我们用Hirota直接法结合一些小技巧得到了Sine-Gordon（SG）方程的一个新的精确解．最后，我们改进了关于NLS方程亮孤子的直接微扰方法，改进后的方法数学上更简单，思路更清晰，应用更方便。在第六章中，我们对本文做了简单的总结，并对直接暗孤子微扰理论的前景作了一些展望。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 绪论
• §1.1 孤立子
• §1.2 一般孤子理论概述
• §1.3 孤子微扰理论概述
• §1.3.1 基于逆散射变换（IST）的微扰理论
• §1.3.2 半直接的孤子微扰理论
• §1.3.3 直接孤子微扰理论
• §1.3.4 暗孤子微扰理论研究现状
• §1.4 本文的主要内容
• 第二章 半直接的暗孤子微扰理论
• §2.1 基于平方Jost解的暗孤子微扰理论
• §2.2 基于Green函数和平方Jost解的暗孤子微扰法
• §2.2.1 构造微扰展开的完备基
• §2.2.2 Green函数法求解非齐次线性偏微分方程
• §2.2.3 微扰对孤子的影响
• §2.2.4 附录:完备性证明
• §2.3 基于平方Jost解的暗孤子微扰理论的三种表示
• §2.3.1 三种表示
• §2.3.2 等价性证明
• 第三章 直接的暗孤子微扰理论
• §3.1 引言
• §3.2 微扰方程的线性化
• §3.3 正交完备基的构造
• §3.3.1 算子（?）和伴随算子（?）的本征值问题
• §3.3.2 完备性的证明
• §3.3.3 正交性的证明
• §3.4 微扰对孤子的影响
• §3.5 直接暗孤子微扰理论的三种表示
• §3.6 结论
• 第四章 直接暗孤子微扰理论的应用
• §4.1 增益和双光子吸收对光纤暗孤子的联合影响
• §4.2 光纤三阶色散（TOD）效应、自陡峭（SS）效应和自频移（SFS）对NLS暗孤子的影响
• 第五章 相关孤子理论问题研究
• §5.1 玻色—爱因斯坦凝聚原子云中孤立波的传播
• §5.1.1 引言
• §5.1.2 雪茄形囚禁阱中的一维GP方程
• §5.1.3 横向波函数g（x,y,σ）的求解
• §5.1.4 雪茄形BEC原子云中的孤立波
• §5.2 Sin-Gordon（SG）方程的一个临界双扭结子解
• §5.3 一种改进的亮孤子直接微扰法
• 第六章 总结和展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的论文
• 致谢