关于半环上广义逆矩阵以及四元数矩阵方程的若干研究

论文摘要

一个矩阵A的广义逆矩阵拥有矩阵逆矩阵的一些性质。构造矩阵广义逆的目的就是得到一个非可逆矩阵的有逆矩阵性质的矩阵。广义逆可以用来解线性矩阵方程,如果有不止一个解,可以得到一个特殊解（例如,最小模解）,或者当解不存在时,得到一个最佳逼近解（例如,最小二乘解）。广义逆的概念是由Fredholm[1]在1903年首次提出的,他给出了一个积分算子的特殊的广义逆。广义逆的完整的性质由Hurwitz[2]在1912年给出。在著作Moore[3],Penrose[4],Drazin[5]和其它一些著作中,广义逆矩阵的代数性质被慢慢建立。1955年,Penrose[4]对复数域上任意一个矩阵A,存在唯一的一个矩阵X,满足如下四个方程：这个独一无二的广义逆Moore[3]在1920年用不同的方法也研究过,这就是著名的Moore-Penrose逆,通常记为A（?）。上面所提到的四个方程我们称之为Penrose方程。注意到当矩阵A是非奇异阵时,X=A-1满足Penrose方程,这表明当A是非奇异阵时,它的Moore-Penrose逆和一般逆是相同的。只满足部分Penrose方程的广义逆同样有着重要的作用。其中,满足第一个Penrose方程的矩阵X我们称之为矩阵A的内逆,通常记为A-。仟何满足前两个Penrose方程的矩阵X我们称之为矩阵A的反射逆,通常记为A+。还有一些广义逆拥有良好的谱性质,即矩阵的特征值和特征向量的性质,这其中包括Drazin逆和群逆。设矩阵A∈Cn×n且Ind（A）=k。这时若矩阵X∈我们称之为A的Drazin逆,当k=1时,X称之为A的群逆。在Penrose的文章[4]之后,广义逆的研究文章开始大量出现,这些关于实或复矩阵广义逆的理论和性质的研究结果我们可以在一些著名的论著中找到,例如：[36]-[38]。然而,在最近几十年,数学模型的应用范围已经扩大到了类似于混沌理论[50]-[54],图论[55]-[57],新的运算研究以及控制论。在这些进化过程中,很多学者开始在更广的代数范围（例如,交换环[26],任意环[27]-[29]以及幂等半环[30]）上研究矩阵的Moore—Penrose逆,群逆和Drazin逆等。这也是本文研究任意半环上广义逆矩阵的一个动机。一个半环包含一个集合S和两个S上的二元运算,加法运算（+）和乘法运算（·）,满足：（1）（S,+）是个Abelian半群（以0为单位）；（2）（S,·）是一个半群（以1为单位）；（3）乘法对加法满足左右分配律；（4）s0=0s=0对所有s∈S成立；（5）1≠0。由半环的定义,代数结构maxplus代数或者minmax代数（[82],[83]）,dioid（[68],[69]）,模糊代数[84],斜代数[85],瓶颈代数[86],有单位元环,定义了一般加法和乘法的非负实数都是半环。本文共分为四章。第一章介绍了广义逆矩阵的一些基本知识以及它在解复数域上线性矩阵方程中的应用。本章主要分为两个部分。第一部分,我们讨论复数域上矩阵的Moore-Penrose逆,群逆,Drazin逆等的存在性和一些重要性质。第二部分,我们利用广义逆讨论一些经典的线性矩阵方程解的存在性及通解的表达式。本章的第一部分将给接下来的第二和第三章提供研究动机和背景知识,第二部分是第四章的背景知识。第二章讨论了任意半环上正则矩阵的广义逆的存在性。我们主要研究了如下两个问题：1,在任意半环S上矩阵A的群逆,Moore-Penrose逆以及Moore-Penrose群逆存在的充分必要条件是什么?2,我们能够建立这些广义逆的表达式吗?我们给出了任意半环上正则矩阵的群逆,Moore-Penrose逆以及Moore-Penrose群逆存在的充分必要条件。另外,我们建立了这些广义逆的一些表达式。因为域上矩阵的大部分技巧,例如：矩阵分解,矩阵的秩方法等在半环上是不成立的,所以我们用纯代数的技巧建立了这些结果。第三章考虑了任意半环上矩阵Drazin逆存在的充要条件。众所周知,任意半环S上n×n方阵集Mn（S）在一般矩阵加法和乘法运算下仍然是半环,Drazin逆矩阵定义在方阵上,因此,研究半环上Drazin逆的存在性是非常有意义的。本章我们研究了任意半环上Drazin逆存在的充分必要条件即满足条件时Drazin逆的一般表达式。另外,我们考虑了在乘积paq存在的条件下,乘积paq的一些性质。做为特例,我们还研究了半环上的群逆。广义逆矩阵的一个重要应用就是表示线性矩阵方程的可解性,并且给出矩阵方程的通解形式。考虑到四元数矩阵在图形计算,信号处理,量子物理以及医疗中的应用（[109]-[114]）。第四章我们讨论一些四元数域上的线性矩阵方程及一些矩阵表达式的极秩。四元数是一个满足乘法结合律但不满足乘法交换律,乘法对加法满足分配律,包含零元,每一个非零元素有唯一的乘法逆的四维向量。因此四元数是一个可分代数,通常记为H。四元数是由爱尔兰数学家William Rowan Hamilton爵士首先发现的[107]。作为数学（代数,分析,几何,计算等[108]-[111]）的一个领域,四元数被广泛的研究。Shoemake[112]利用四元数做图形计算使得四元数变得十分流行。在计算包含回路图形时,四元数可以被用来降低难度和加快计算。一个四元数表示四个标量,对比一个3×3循环矩阵要用九个标量。在第四章,我们主要研究了当Y=Y（*）时,矩阵表达式当Y=-Y（*）时,我们研究了矩阵表达式为了建立这些矩阵表达的最小秩公式,我们用到了一般矩阵的广义逆矩阵和基本的秩公式。作为应用,我们研究了如下四元数矩阵方程：我们给出了这些线性四元数矩阵方程的通解,斜中心对称解以及斜中心反对称解存在的充要条件及通解表达式。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 Fundamental concepts of generalized inverses and matrix equations
• 1.1 Introduction
• 1.2 Existence and some properties of generalized inverses
• 1.2.1 Inner inverses and reflexive inverses
• 1.2.2 The Moore-Penrose Inverse
• 1.2.3 The Drazin inverse
• 1.2.4 The group inverse
• 1.3 Linear matrix equations
• 2 Some generalized inverses of matrices over an arbitrary semiring
• 2.1 Introduction
• 2.2 Preliminaries
• 2.3 Results
• 2.4 Concluding remarks
• 3 The Drazin inverse in an arbitrary semiring
• 3.1 Introduction
• 3.2 Preliminaries
• 3.3 Results
• 3.4 Concluding remarks
• 4 The solutions to some quaternion matrix equations
• 4.1 Introduction
• 4.2 Preliminaries
• 4.3 Results
• 4.3.1 Minimal ranks of matrix expressions
• 4.3.2 Some applications
• 4.4 Concluding remarks
• Bibliography
• List of Publietaions
• Acknowledgements