二维三温辐射热传导方程的高效自适应算法研究

论文摘要

二维三温辐射热传导方程是激光约束核聚变（Laser-Driven Inertial Confinement Fusion，ICF）数值仿真研究中的一个简化模型，它近似地描述了ICF内爆动力学过程中辐射能量在静止介质中的非线性传播过程。本文从空间离散方法、预条件子构造和网格自适应等几个方面开展了二维三温辐射热传导方程的自适应高效算法研究。论文包含了五个方面的工作。首先，论文在三角形网格的基础上，设计了一类保对称的有限体元方法（SFVEM），并从理论上证明了在一定条件下的二维三温辐射热传导方程SFVEM离散系统的对称性。其次，论文在有限元方法（FEM）预条件理论的基础上，通过分析两类有限体元方法（经典有限体元方法（FVEM）及SFVEM）的系数矩阵和FEM系数矩阵的关系，提出了利用线性有限元的预条件子预处理线性有限体元离散系统的新思路，并从理论上证明了此类预条件子的高效性。第三，论文针对二维三温辐射热传导方程时间半离散后的非线性偏微分方程，设计了一种高效的可并行的两网格离散算法，并给出了该方法在||·||1下的误差分析。第四，本文从基于Hessian矩阵的网格自适应理论出发，设计了一种适用于二维三温辐射热传导方程的网格自适应算法。最后，本文以知名数值仿真软件包为蓝本，将常用的偏微分方程数值方法与论文中新的研究结果相结合，制作了一套专门用于求解二维三温辐射热传导方程的程序包RH3T-2D。论文在RH3T-2D程序包的基础上进行了大量的数值实验，数值实验的结果表明：（1）、SFVEM方法具有比FVEM、FEM更快的离散速度和更小的能量守恒误差；（2）、在使用有限体元方法求解线性椭圆方程和二维三温辐射热传导方程时，随着网格规模的增大，以AMG为预条件的GMRES方法和PCG方法，在求解线性代数系统时，其迭代次数趋于稳定；（3）、两网格离散方法在||·||1下的误差阶得到了验证，相关算法适用于二维三温辐射热传导方程；（4）、基于Hessian矩阵的网格自适应方法能准确追踪二维三温辐射热传导方程的温度突变区域，提高系统的计算速度，相对于基于梯度的网格自适应方法，本文所设计的算法能够更加有效地降低能量守恒误差。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 能源危机与核聚变研究
• 1.2 激光约束核聚变及其数值仿真
• 1.3 本文的工作
• 1.4 常见记号及预备知识
• 第二章 模型方程
• 2.1 二维三温辐射流体动力学方程组
• 2.2 二维三温能量方程
• 2.3 二维三温辐射热传导方程及其定解条件
• 2.4 求解二维三温辐射热传导方程的常用数值技术
• 第三章 保对称有限体元方法
• 3.1 引言
• 3.2 SFVEM离散格式
• 3.3 离散系统的对称性
• 3.4 数值实验
• 3.5 小结
• 第四章 有限体元方法的预条件技术
• 4.1 引言
• 4.2 线性椭圆方程
• 4.2.1 SFVEM
• 4.2.2 FVEM
• 4.2.3 预条件子构造
• 4.3 二维三温辐射热传导方程
• 4.4 数值实验
• 4.4.1 实验1
• 4.4.2 实验2
• 4.4.3 实验3
• 4.5 小结
• 第五章 两网格方法
• 5.1 引言
• 5.2 变分问题及适定性
• 5.2.1 非线性变分问题
• 5.2.2 耦合的线性变分问题
• 5.2.3 解耦的线性变分问题
• 5.3 算法及误差估计
• 5.4 数值实验
• 5.4.1 第一类实验
• 5.4.2 第二类实验
• 5.5 小结
• 第六章 基于Hessian矩阵的网格自适应技术
• 6.1 引言
• 6.2 理论基础
• 6.2.1 数值梯度与Hessian矩阵
• p'>6.2.2 度量矩阵H_p
• 6.2.3 网格自适应指示器
• 6.3 网格自适应
• 6.3.1 算法
• 6.3.2 度量矩阵
• 6.3.3 网格间的插值
• 6.4 数值实验
• 6.4.1 方案I
• 6.4.2 方案II
• 6.4.3 方案III
• 6.4.4 网格自适应与两网格方法
• 6.5 小结
• 第七章 RH3T-2D程序包
• 结论
• 参考文献
• 致谢
• 作者在读博士期间已完成和发表的论文