基于骨重建理论的连续体结构拓扑优化方法

论文摘要

结构优化的目的是使得结构达到给定性能条件下尽可能地降低耗费。在过去的几十年里,结构优化广泛地应用于如建筑、机械、化工、航空航天等工程设计领域。目前,连续体结构拓扑优化是结构优化的热点之一。在产品/结构的早期设计阶段,即概念性设计阶段,拓扑优化已成为产品/结构设计的主要手段。经过近二十年的研究,现已产生多种拓扑优化方法。对于结构复杂、设计变量数目庞大的连续体拓扑优化问题,是一项费时费力的工作。为了降低计算量、缩短产品设计周期,需选取合理的优化算法。本文基于骨重建理论和构造张量理论给出了连续体结构拓扑优化仿生方法,所提出的方法的主要思想是,将待优化的结构看作是遵从Wolff法则重建/生长的骨骼。当骨骼达到重建平衡状态时,结构中材料分布达到了优化点。其中,Wolff法则是指骨骼内部微结构的分布随其外部荷载变化而变化,局部材料的刚度主方向与主应力方向趋于一致。本文的各章节内容安排如下:第一章,综述连续体结构拓扑优化的研究概况及骨重建理论。主要包括:结构优化的研究历程、当前连续体结构拓扑优化的主要方法、设计变量更新的手段、仿生优化方法和股骨重建模型等。第二章,介绍描述非均质材料的构造张量理论。主要内容包括构造张量的测定（平均截取长度法MIL）、三维非均质材料的微结构扫描及其有限元模型的构建和材料宏观弹性本构与构造张量间的关系模型。第三章,给出连续体结构拓扑优化的固定参考应变区间法。1)在该方法中采用构造张量中的元素作为设计变量,利用构造张量描述材料的微结构及宏观弹性张量;2)在多孔材料的构造张量-弹性张量关系给定条件下,为了得到其相对密度,提出等刚度凝缩法。利用等刚度凝缩法将材料点的相对密度用构造张量的不变量表示;3)建立了优化模型:优化过程中设计变量的更新也称为生长规律,它是指对于设计域内任意一点处构造张量特征主方向（即材料的弹性对称面法向或材料主方向）由当前的应力主方向确定;构造张量特征主值的增量,即材料的生长速度,由对应方向上主应变的绝对值与给定的参考应变区间上、下确界的比较确定。当生长过程中构造张量特征对均需要更新时,该过程称为各向异性生长;当构造张量与单位张量成比例时,该过程称为各向同性生长;4)通过数值算例分析了算法中各参数,如参考区间、生长速度和初始材料分布等对算法收敛性的影响。第四章,根据固定区间法分析多种不同类型结构优化问题。内容包括:1)二维连续体结构的各向同性与各向异性生长结果比较,给出各向异性生长后结构中构造张量的分布;2)三维连续体结构的各向同性生长;3)板结构的各向同性生长;4)股骨头密度分布预测及其结果与Stanford模型结果的比较。第五章,提出浮动参考区间法用于解决具有非应变约束的优化问题。1)这些约束包括结构的体积约束、位移约束和/或应力约束;2)浮动区间法与固定区间法的主要区别在于,在生长过程中,结构的参考应变区间不断变化,即当任意一个应变主值的绝对值超过当前参考应变（区间）时,构造张量需更新;3)参考区间的更新由优化问题的主动约束控制;4)针对二维和三维结构中材料点的相对密度差异,分别采用两种方式搜索参考应变（区间）;5)通过数值算例表明所提出的算法具备分析单约束或多约束优化问题的能力。第六章给出双参考应变区间法分析具有不同拉伸与压缩性能材料的连续体结构拓扑优化问题。材料的拉伸与压缩性能不同是指两个方面,一是指结构中材料仅能抗拉（如索膜结构）或抗压（如砖墙）。另一是指材料的拉伸与压缩弹性性能不同。材料拉伸与压缩性能差异对局部材料分布及结构拓扑均有影响。若采用传统的分析方法,无论在结构分析阶段还是在设计变量更新阶段,计算量都很大。为了降低计算量并分析这种差异对结果的影响,在本文提出的方法中用具有各向同性固的相多孔材料替代了原拉压不同性能的材料、给出两个浮动参考应变区间（拉伸应变区间和压缩应变区间）用于控制多孔材料的更新。其中拉伸参考区间用于确定处于拉伸状态下材料用量在相应方向上的变化;压缩参考区间控制处于压缩状态下材料用量在相应方向上的变化。从而将材料的拉伸与压缩性能差异转化为拉伸与压缩参考区间的差异。该方法的优点在于解除了拉压性能不同材料的非线性行为,降低了结构分析的计算量。通过理论和数值算例考察了材料拉压性能差异和替代材料的拉压参考区间差异对局部材料的分布影响的等效性。指出对于同一个初始设计域,相同的优化问题,结构中材料的拉伸与压缩性能不同时,结构的最优拓扑可能会产生较大差异。结构优化时考虑这种差异可以得到更实用的最优结构。第七章给出浮动参考应变能密度法,即采用应变能密度区间控制设计变量的更新。通过几个算例考察了算法的可靠性。利用该方法分析了受均布荷载作用的板结构的设计依赖性。分析结果对工程实践具有指导意义。结论部分对全文内容进行总结,并展望了下一步工作的内容。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 拓扑优化的研究进展
• 1.2.1 优化方法发展简介
• 1.2.2 结构优化类型
• 1.2.3 结构拓扑优化研究进展
• 1.3 连续体结构拓扑优化的基本方法
• 1.3.1 均匀化方法
• 1.3.2 变密度法
• 1.3.3 泡泡法
• 1.3.4 渐进结构优化法
• 1.3.5 水平集方法
• 1.3.6 仿生类优化方法
• 1.4 优化问题的基本解法
• 1.4.1 序列线性规划
• 1.4.2 移动渐进线法
• 1.4.3 优化准则法
• 1.5 骨重建理论
• 1.5.1 Wolff法则与功能适应观
• 1.5.2 参考应力模型
• 1.5.3 参考应变模型
• 1.5.4 Cowin的适应性弹性模型
• 1.5.5 参考应变能密度模型Ⅰ:Nijimegen模型
• 1.5.6 参考应变能密度模型Ⅱ:Stanford模型
• 1.6 本章小结
• 2 非均质材料微结构的构造张量描述
• 2.1 多孔介质微结构的表征与测定
• 2.1.1 MIL方法简介
• 2.1.2 非均质材料三维有限元模型
• 2.2 多相材料微结构的构造张量表示
• 0分段插值多项式逼近'>2.2.1 C₀分段插值多项式逼近
• 2.2.2 构造张量级数逼近
• 2.3 非均质材料弹性本构的构造张量表示
• 2.3.1 Cowin模型
• 2.3.2 Zysset模型
• 2.4 本章小结
• 3 固定参考应变区间法
• 3.1 多孔材料弹性性能及等刚度凝缩法
• 3.1.1 弹性本构
• 3.1.2 等刚度凝缩法
• 3.2 拓扑优化问题的表述
• 3.2.1 线弹性小变形结构的控制方程及边界条件
• 3.2.2 优化问题模型
• 3.2.3 参考应变区间的意义
• 3.3 设计变量更新方法及算法流程
• 3.3.1 各向异性生长算法
• 3.3.2 各向同性生长算法
• 3.3.3 算法流程
• 3.4 算法参数分析
• 3.4.1 影响算法收敛性的四个参数
• sup'>3.4.2 参考应变区上确界ε_sup
• 3.4.3 参考应变区间的区间长度
• 3.4.4 生长速度
• 3.4.5 初始材料的设定
• 3.5 本章小结
• 4 固定参考应变区间法的验证及应用
• 4.1 基于有限元分析的连续体结构拓扑优化模型
• 4.1.1.多孔介质的弹性本构
• 4.1.2.连续体结构弹性变形的控制方程
• 4.1.3.优化问题模型
• 4.1.4.构造张量更新方案
• 4.1.5.各向同性生长算法
• 4.1.6.算法流程
• 4.2 二维线弹性连续体结构各向异性生长数值算例
• 4.2.1.算例1
• 4.2.2.算例2
• 4.2.3.算例3
• 4.2.4.算例4
• 4.2.5.算例5
• 4.2.6.算例6
• 4.3 三维线弹性连续体结构算法实现及数值算例
• 4.3.1.算例7
• 4.3.2.算例8
• 4.3.3.算例9
• 4.3.4.算例10
• 4.3.5.算例11
• 4.4 板结构数值算例
• 4.4.1.算例12
• 4.4.2.算例13
• 4.4.3.算例14
• 4.5 股骨头密度预测
• 4.5.1.二维股骨头分析
• 4.5.2.三维股骨头分析
• 4.6 本章小结
• 5 浮动参考应变区间法
• 5.1 基本理论
• 5.1.1 多孔介质的弹性本构
• 5.1.2 线弹性结构拓扑优化问题的表述
• 5.2 具有单约束柔顺性结构拓扑优化问题的算法分析
• 5.2.1 体积约束
• 5.2.2 位移约束
• 5.2.3 应力约束
• 5.2.4 单约束优化问题的算法流程
• 5.3 单约束柔顺性结构拓扑优化问题数值算例
• 5.3.1 算法参数研究
• 5.3.2 算法的网格依赖性分析
• 5.3.3 位移约束算例
• 5.3.4 应力约束算例
• 5.4 具有多约束结构拓扑优化问题的算法分析
• 5.4.1 具有多位移约束的优化问题算法
• 5.4.2 具有体积约束与位移约束的优化问题算法
• 5.4.3 多约束优化问题的算法流程
• 5.5 具有多约束结构拓扑优化问题数值算例
• 5.5.1 算例1
• 5.5.2 算例2
• 5.6 三维结构拓扑优化分析算法
• 5.6.1 夹逼法搜索参考应变
• 5.6.2 多约束优化问题的算法流程
• 5.6.3 具有体积约束的数值算例
• 5.6.4 具有位移约束的数值算例
• 5.7 本章小结
• 6 材料具有不同拉伸与压缩性能的连续体结构拓扑优化
• 6.1 材料性能
• 6.1.1 构造张量及弹性张量定义
• 6.1.2 多孔介质的有效体积分数
• 6.2 连续体结构拓扑优化模型
• 6.2.1 线弹性小变形结构的基本方程及边界条件
• 6.2.2 拓扑优化问题列式
• 6.2.3 设计变量更新方案
• 6.2.4 参考应变区间更新
• 6.2.5 算法流程
• 6.3 拉压性能差异对局部材料分布影响分析
• 6.3.1 基础材料的拉伸与压缩弹性性能差异对局部材料的影响
• 6.3.2 基础材料的拉伸与压缩生长参考区间差异对局部材料的影响
• 6.4 数值算例
• 6.4.1 算例1
• 6.4.2 算例2
• 6.4.3 算例3
• 6.4.4 算例4
• 6.5 本章小结
• 7 基于均匀应变能密度分布的连续体拓扑优化算法及应用
• 7.1 基本理论
• 7.1.1 多孔材料的微结构及宏观弹性性能描述
• 7.1.2 线弹性小变形结构的控制方程及边界条件
• 7.1.3 浮动参考应变能密度区间法的优化模型
• 7.1.4 设计变量更新
• 7.1.5 浮动参考区间更新
• 7.1.6 算法流程
• 7.2 数值算例
• 7.2.1 算例1
• 7.2.2 算例2
• 7.2.3 算例3
• 7.2.4 算例4
• 7.2.5 算例5
• 7.3 均布荷载作用下板最优拓扑的设计依赖性分析
• 7.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 创新点摘要
• 附录A
• 附录B
• 攻读博士学位期间发表学术论文情况
• 致谢