基于未知信号先验知识的精确重构

论文摘要

传统的信号处理的采样过程必须满足奈奎斯特采样定理,即采样频率不得低于模拟信号频谱中最高频率的两倍。对于稀疏的或可压缩的信号,压缩传感理论突破了奈奎斯特采样定理的极限。未知向量x∈Rn在某组正交基或紧标架下具有k-稀疏表示θ, y=φθ∈Rm是测量值, m<<n,压缩传感理论说明只要θ满足约束等距条件,θ就能够从y中完全重构出来。考虑有误差项的测量: y=Ax+e∈Rm, A是m×n的列满秩阵, e∈Rm是任意的未知的向量满足||e||=|i：ei|≠0≤ρ.m本文结合矩阵的星值,证明了只要控制错误部分ρ使得ρ≤ρ*（ρ*依赖于测量值维数与未知信号维数的比值）,理论上x就可以被精确重构。本文对此结论进行了大量的数值实验,所得的数据与理论结果保持一致。实际应用中,我们多采取最小化l1 -范数法来重构x ,本文阐述了一种新的求解最优化问题的方法:计算出目标函数|y-Ag|l1的次微分,找到的对应神经网络的收敛值就是我们要的最优值。本文还介绍了0＜ρ≤1时高维欧几里得空间中l——p球的盖尔范德n-宽度,盖尔范德宽度和kolmogorv宽度界定了信号恢复的误差,这使得我们可以定量的评估信息算子的性能。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景及研究的目的和意义
• 1.2 CS理论简介
• 1.2.1 信号的稀疏表示
• 1.2.2 测量矩阵
• 1.2.3 重构算法
• 1.3 本文的主要内容及结构安排
• 第2章 用线性规划来解码
• 2.1 线性码解码
• 2.2 约束等距常数
• 2.3 主要结论及其证明
• 2.4 容量
• 2.5 高斯随机矩阵
• 2.6 数值实验
• 2.7 本章 小结
• 第3章 可压缩信号的重构
• 3.1 盖尔范德宽度
• 3.2 中心算法
• 3.3 CS情形
• 3.4 最小化1-范数和最小化0-范数的关系
• 3.5 本章 小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢