论文摘要
时滞动力系统的稳定性和分支问题的研究对相关的具有实际应用背景领域的发展起着关键作用。具体的，在无穷维空间上对系统稳定性的研究，尤其是对全局稳定性的研究会更全面和深入地展示系统的动力学性质。分支问题同样是重要的关注点，它主要研究系统在临界点处随参数变化而发生的拓扑性质的本质改变。对具有实际背景的时滞动力系统的研究，除需要大量经典的动力系统理论、拓扑学、代数学、非线性分析等作为必要工具外，还需要对流行病学、肿瘤学、临床医学、生物学及神经网络系统等相关实践领域有深入的理解。本文主要应用Lyapunov稳定性理论结合LaSalle不变性原理、中心流形定理、规范型方法以及全局Hopf分支定理等理论和方法，针对几类具有较强实际背景的时滞动力学模型的局部和全局稳定性、局部和全局Hopf分支等问题进行了系统的研究，具体内容如下：（一）研究了一类具裂解周期溶瘤细胞病毒疗法模型的动力学性质。考虑了很多相关模型都忽略的病毒裂解周期问题。在裂解数临界值的不同范围内，通过构造全局Lyapunov泛函并结合LaSalle不变性原理，研究了对应平衡点的全局渐近稳定性；分析了正平衡点的稳定性发生变化并产生Hopf分支的情况。此外，针对分析结果给出了重要的临床解释。（二）研究了一类具时滞霍乱模型的全局动力学性质。在临界值R0的不同范围内，通过构造Lyapunov泛函并运用LaSalle不变性原理，分别研究了系统两个平衡点的全局稳定性，研究结果分别对应霍乱病菌被清除和病菌感染持久存在。保持了对应ODE系统的全局稳定性的结果表明针对感染项的时滞不会产生周期振荡，即它不是导致霍乱疾病季节性振荡爆发的决定性因素。（三）研究了一类具循环时滞的神经网络的动力学行为。通过借鉴Enciso的工作，提出了一个关于全局动力学性质的二分法，利用该方法并结合特征根的分布的相关结果研究了平衡点的全局渐近稳定性。证明了系统全局Hopf分支的存在性。通过确定在第一临界值点处Hopf分支的方向和稳定性，明确地回答了由Enciso提出的两个猜想。最后，通过两个例子及其数值模拟验证了理论的正确性。（四）研究了一类具两个细胞内时滞和免疫反应的病毒感染模型的动力学性质。得到了系统的动力学性质由两个临界值确定。通过构造Lyapunov泛函并结合LaSalle不变性原理的方法，研究了系统两个边界平衡点的全局渐近稳定性；最后，运用Beretta和Kuang的几何准则讨论了系统正平衡点的稳定性和Hopf分支存在的充分条件。