论文摘要
本文主要考虑了带随机波动率的资产价格模型中系数的非线性滤波问题。我们还考虑了投资者的投资组合受到汇率的影响。更准确地说，假定资产价格St在随机时刻0＜τ1＜τ2＜…发生跳跃，这些随机时刻可以被解释为“大额交易量发生的时刻或者做市商根据得到的新信息改变自己的报价的时刻”。在随机时刻0＜τ1＜τ2＜…，股票价格满足：S（t）=N（t），t=τk，k=1，2，…。在资产价格St发生跳跃的时刻之间，则有（假定τ0=0）：dSt=g（x（t））Stdt+θtStdBt，τk＜t＜τk+1，k=0，1，2，…。其中B=（Bt）t≥0为一维标准布朗运动，θ为一正函数，x=（z（t））t≥0是一cádlág强马尔可夫过程。随机过程x（t）可以部分地被过程St观测到。x（t）的形式为：x（t）=x0+integral from n=0 to t b（x（s））ds+integral from n=0 to tσ（x（s））dWs+J（t），其中{W（t），0≤t)是一取值为R上的标准布朗运动，跳跃项J（·）表示为：J（t）=integral from n=0 to t integral from n=R q（x（s-），ρ）（μx-νx）（ds，dρ）。μx=μx（ds，dρ）是一定义在（R+×R，B（R+）（?）B（R））的Poisson测度，其补偿算子νx（ds，dρ）=K（dρ）dt，其中K（dρ）是定义在（R，B（R））的一非负σ-有限测度。假定Ex02＜∞。设货币A与货币B之间的汇率为et，满足：det=ctetdt+mtetdVt，在上述模型满足一定条件下，得到了本文的主要结论：定理1：对于算子（?）定义域内的任意有界函数f，则有：σt（f）=σ0（f）+integral from n=0 to t(fhθ-1)dy（s）+integral from n=0 to tσs-（（?）f）ds+integral from n=0 to tσs-（f（·+q（·，ρ））-f（·））（μ-ν）（dρ）ds。定理2：对于算子（?）定义域内的任意有界函数f，则有σt（f）=σ0（f）+integral from n=0 to tσs-（f（λ-1））（dN（s）-ds）+integral from n=0 to tσs-（（?）f）ds+integral from n=0 to tσs-（integral from n=R（f（·+q（·，ρ））-f（·））（μ-ν）（dρ））ds。推论1：滤波Пt（f）满足：Пt（f）=П0（f）+integral from n=0 to tПs-（（?）f）ds++integral from n=0 to tПs-（f）Пs-(hθ-1)2ds+integral from n=0 to t [Пs-(fhθ-1)-Пs-（f）Пs-(hθ-1)]dy（s）+integral from n=0 to tПs-（integral from n=R（·+q（·，ρ））-f（·））（μ-ν）（dρ）)ds。推论2：Пt（f）=П0（f）+integral from n=0 to tПs-（（?）f）ds+integral from n=0 to t [(Пs-(f（?）-Пs-（f）Пs-（（?））／Пs-（（?））](dN（s）-Пs-（（?））ds)+integral from n=0 to tПs-（integral from n=R（f（·+q（·，ρ））-f（·））（μ-ν）（dρ））ds。