一类广义Cantor集的Hausdorff测度

论文摘要

本文首先论述了分形集及其特征，通过特性给出了它的定义，并对分形的各种测度和维数进行了论述，讨论了分形集测度和维数的概念和性质，论证了测度与维数、维数与维数间的关系，以及用维数来刻画分形集合的“粗”“细”程度，为正确理解和使用分形维数提供了依据，同时也澄清了对分形维概念的错误认识，同一分形集对不同的维数定义可以具有不同的分形维数值，而不同的分形维数刻划分形集不同属性。其次，本文论述了迭代函数系统（Iterated Fuction System）f={f1，…，fk}，定义f（E）=（?）fi（E）、f0（E）=E、fn（E）=f(fn-1（E）)，从而构成了IFS；讨论了由迭代系统产生的广义Cantor集的测度，给出了由两个或三个压缩映射在满足开集条件下生成的Cantor集，如果在映射过程中[0,1]区间的两个端点保持不变，则Cantor集E的Hausdorff测度等于1，即Hs（E）=1；如果在映射过程中[0,1]区间两端改变，则Cantor集F的Hausdorff测度可由F与E的线性关系（F=kE+b）通过测度的性质得到，即Hs（F）=|k|s，并把这种生成Cantor集的方法推广到一般情况，即Cantor集由k个压缩系数不相同的压缩映射在满足开集条件下生成的，如果[0,1]区间两端点保持不变，则Cantor集E的Hausdorff测度等于1；如果[0,1]区间端点改变，

论文目录

• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 数学基础及符号说明
• 第二章 分形集的测度及维数
• 2.1 测度
• 2.1.1 测度
• 2.1.2 常用测度
• 2.2 Hausdorff测度
• 2.2.1 Hausdorff测度
• 2.2.2 Hausdorff测度的性质
• 2.2.3 质量分布原理
• 2.3 Packing测度
• 2.4 Hausdorff维数
• 2.4.1 Hausdorff维数
• 2.4.2 Hausdorff维数的性质
• 2.4.3 维数的等价定义
• 2.4.4 更精细的维数
• 2.5 Packing维数
• 2.6 Box-维数
• 2.6.1 Box-维数的定义
• 2.6.2 Box-维数的性质
• 2.7 维数的一些其它定义
• 2.7.1 拓扑维数
• 2.7.2 相似维数
• 第三章 一类广义Cantor集的Hausdorff测度
• 3.1 迭代函数系统与开集条件
• 3.2 两个映射生成的Cantor集的Hausdorff测度
• 3.2.1 经典三分Cantor集
• 3.2.2 均匀三分Cantor集
• 3.2.3 非均匀Cantor集
• 3.3 三个映射生成的Cantor集的Hausdorff测度
• 3.3.1 均匀Cantor集
• 3.3.2 非均匀Cantor集
• 第四章 自相似集Hausdorff测度的连续性
• 4.1 自相似集Hausdorff测度的连续性
• 4.1 .1自相似集的Hausdorff测度
• 4.1.2 Hausdorff测度的连续性
• 4.2 广义自相似集Hausdorff测度的连续性
• 4.2.1 广义自相似集Hausdorff测度
• 4.2.2 广义自相似集Hausdorff测度的连续性
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间发表的学术论文