论文摘要
给定一个Coxeter系（W，S），其中S是W中单反射组成的集合。我们考虑W上的Bruhat序。对于其中任意两个有序关系的群元素y≤w，我们有一个Kazhdan-Lusztig多项式Py，w，它是一个关于变量q的整系数多项式。由文献[KL1]我们知道当y<w时，多项式Py，w的次数小于等于1/2（l（w）-l（y）-1）；而Pw，w=1．其中l：W→N为W的长度函数。多项式Py，w中的第1/2（l（w）-l（y）-1）次项的系数μ（y，w）称为Py，w的首项系数。这些首项系数对于理解全部Kazhdan-Lusztig多项式起着非常关键的作用。同时，这些首项系数在表示理论和李理论中也有着很重要的地位，它们和某些上同调群及某些困难的特征标公式有着密切的联系。然而，一般情况下这些首项系数的计算是相当的困难复杂。本文对（?）型和（?）型仿射Weyl群的Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数进行了研究，计算出了其中大部分多项式的首项系数。Lusztig引入了非常重要的a-函数的概念（见2．2节）。对于任意的元素对y≤w，当a（y）≤a（w）时，我们清楚地计算出了这两种仿射Weyl群的首项系数μ（y，w）．而且，对于B2型仿射Weyl群，我们还对那些满足a（y）=2且a（w）=1的y≤w清楚地计算出了μ（y，w）；当a（y）=4且a（w）=1或者2时，情况较为复杂，我们给出了一些相关的结果。利用一部分这些首项系数，我们可以证明Lusztig于1987年提出的一个关于特异对合的猜想对B2型仿射Weyl群是成立的。另外，我们还否定了[L3]中的一个猜想（详见注解5．2．5（2））．在本文的最后一节，我们还给出了一些非常有趣的公式。从这些公式可以看到Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数和代数群的表示以及基环的结构有着密切的关系。为了研究仿射Weyl群的W-图的非局部有限性，Lusztig在他1996年的一篇论文中引入了和Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数μ（y，w）有关的一些半线性方程（见[L3]）。本文中的计算将主要依赖于这些半线性方程以及第2．4节中介绍的Springer公式。