论文摘要
本文研究了孤立子理论中关于非线性偏微方程求解的若干方法和可积系统中如何寻求新的可积耦合问题:1.简介孤立子理论的历史背景和发展概况;2.应用广义射影Riccati方程求解;3.应用辅助方程方法求解;4.微分流形与Ba¨cklund变换;5.达布变换;6.寻求可积耦合.第一章主要介绍了孤立子理论的历史背景和发展概况,数学机械化及符号计算的应用,非线性发展方程精确求解的若干方法的历史发展,同时介绍了国内外学者在这些学科领域所取得的成果。第二章基于将非线性发展方程求解代数化、算法化、机械化的指导思想,以符号计算软件Maple为工具,考虑了非线性发展方程精确解的构造,并举例应用推广的射影Riccati方程方法,构造了Konopelchenko-Dubrovsky方程新的精确解;借助了广义辅助方程方法,得到了任意次Li′enard方程的精确解。第三章以sin-Gordon方程为例先介绍了微分流形与B（a|¨）cklund变换的联系,即sin-Gordon方程的一个解与一个伪球面1-1对应;同时介绍了达布变换的基本方法并以非线性薛定谔方程的多变元（向量）广义形式—耦合的GMNLS方程为例,得到了一些新的孤波解。第四章介绍了孤立子理论中的重要课题之一:可积系统。为求可积耦合,郭福奎教授给出的方法中要求必须满足两个条件。本章将其中的一个条件去掉,直接构造了loop代数（A|-）3的一个特殊子代数G|,使和其二个子代数（G|-）1,（G|-）2满足关系G|-=（G|-）1⊕（G|-）2。利用（G|-）1构造一个等谱问题;再利用屠格式得到一个具有双Hamilton结构的新的孤子方程族。其次,利用（G|-）1的基元的线性组合,得到了一个另一类loop代数（G|=）1,由此再利用屠格式获得第二类新的可积系。