论文题目: 复数的Eisenstein有理逼近及形式级数域上的非齐次丢番图逼近
论文类型: 博士论文
论文专业: 应用数学
作者: 马超
导师: 吴军
关键词: 维数,丢番图逼近,非齐次丢番图逼近,形式级数域,有理逼近
文献来源: 武汉大学
发表年度: 2005
论文摘要: 丢番图逼近（Diophantine Approximation）理论的发展始于两个世纪前,是数论的一个重要分支。丢番图逼近的核心问题是:对于给定的一个实数x,用分母不大于q0（∈N）的有理数p/q来逼近x可以达到什么程度。也就是说当用于逼近的有理数p/q变化时,差|x-p/q|可以有多小?经典的Dirichlet定理（1842年）指出,对任何实数x,有无限多的正整数q和整数p使得 |x-p/q|≤1/q2 等价地有 ‖qx‖≤q-1对无穷多个正整数q成立,这里‖y‖=（?）|y-m|表示y到最近整数的距离。可以说这是丢番图逼近中度量性质的第一个结果。 上个世纪初,Khintchine证明了:如果Ψ（q）是q的非增函数,并且0≤Ψ（q）≤1/2,则根据级数sum from q=1 to ∞ Ψ（q）发散或收敛,使不等式 ‖qx‖≤Ψ（q）有无穷多个正整数解q的点x的集合为满测集或为零测集（在一维勒贝格测度意义下）,即满足0-1律。该结论即为经典的Khintchine定理,它奠定了度量丢番图逼近的基础。在丢番图逼近中存在很多满足0-1律的集合,零测集也称为例外集,通常为分形。一个自然的问题是:怎么样区分这些例外集?Hausdorff维数为我们提供了一个强有力的工具。我们把使 ‖qx‖≤|q|-v对于无穷多个正整数解q成立的x称为是可v-很好逼近的（v>0）。显然由Khintchine定理知道,当v>1时可v-很好逼近的点集为例外集。Jarnik定理得到了可v-很好逼近的点集的Hausdorff维数为2/v+1。
论文目录:
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英文摘要
第一章 引言
第二章 背景知识
2.1 Hausdorff测度和Hausdorff维数
2.2 Hausdorff维数的确定
2.2.1 上界的确定
2.2.2 下界的确定
2.3 丢番图逼近(Diophantine Approximation)
2.3.1 实数域中的丢番图逼近
2.3.2 其他数域中的丢番图逼近
第三章 复数的Eisenstein有理逼近
3.1 前言
3.2 准备工作
3.2.1 Gaussian有理数和Eisenstein有理数
3.2.2 Z[ω]中的度量丢番图逼近
3.2.3 (α，β)-game
3.3 例外集的Hausdorff维数
3.3.1 集合B(ω)的Hausdorff维数
3.3.2 集合W_v(ω)的Hausdorff维数
第四章 形式级数域上的非齐次丢番图逼近
4.1 前言
4.2 若干记号和主要结论
4.3 度量定理
4.4 例外集的Hausdorff维数
附录一 the Regulaur Systems
附录二 the Ubiquitous Systems
参考文献
后记
发布时间: 2006-03-27
参考文献
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