论文摘要
本文讨论了R3上一般形式的外力作用下的可压Navier-Stokes方程静态解的存在性，唯一性，稳定性以及相应非静态解的大时间行为。在第二章中，我们证明了可压Navier-Stokes方程当外力项（G，F，H）在某种范数的意义下充分小时静态解的唯一存在性，并且得到了静态解（P*，v*，θ*）=（（?）+q*，v*，（?）+ν*）的正则性以及（q*，v*，ν*）关于空间变量的衰减估计。我们在这一部分的证明主要是基于对相应线性化问题的加权L2估计和L∞估计。与等熵情形[25]所不同的是，出于作加权L2估计的考虑，对于非等熵情形时的静态解的存在性问题，我们发现选取（P，v，θ）而不是（p，v，θ）作为独立变量是必要的，并且由于qθ▽θ这一项的原因，我们得到的关于密度扰动σ*（这里ρ*=ρ（P*，σ*）=（?）+σ*）的估计较等熵情形[25]要弱。第三章中我们研究静态解（ρ*，v*，θ*）关于初值的稳定性，也即N-S方程非静态初值问题（ρ，u，θ）（t，x）|t=0=（ρ0，u0，θ0）（x）→（（?），0，（?））as|x|→+∞的可解性。我们证明了当静态解的初始扰动的H3模充分小时，初值问题的整体解唯一存在。虽然密度的扰动σ*关于空间的衰减估计较等熵情形弱，通过一些精细的估计我们也同样证明了相应的先验估计成立。第四章给出了当初始扰动的H3模充分小且L6／5模有界时非静态解收敛到相应静态解的几乎最优衰减估计：‖（σ，v，ν）（t）‖L2有（1+t）-1／2+η（其中η＞0可任意小）的衰减。由于静态解的可积性不够好，应用我们方法得不到最优衰减估计。我们的技巧主要是结合第三章中的能量估计和线性算子的Stricker型估计，其中Stricker型估计是利用内插定理将线性算子的Lp-Lq估计推广至Lorentz空间得到的。