四阶两点边值问题单元能量投影法的数学分析

论文摘要

有限元法是一种非常有效且通用的数值分析计算方法。随着有限元法的迅速发展,人们对常规有限元中的应力精度比位移精度呈数量级的下降越来越不满意,因而如何提高有限元解导数的精度成为近年来有限元研究的热点之一。2004年袁驷教授对于二阶方程两点边值问题基于力学解释提出了单元能量投影法,其基本思想来源于结构力学中的矩阵位移法和有限元数学理论中的投影定理。数学例子显示了良好的效果。2006年单元能量投影法被推广到四阶两点边值问题的有限元计算中,同样获得了令人满意的效果。2007年赵庆华博士对部分结果进行了严格的数学分析。本文对四阶两点边值问题的单元能量投影法进行数学分析,获得了一系列好的结果。我们的主要贡献是:1.证明了内点位移恢复具有O(h2k-2)阶的超收敛阶,同时还提供了数值算例用以验证所得的结论。2.证明了内点应力恢复具有O(h2k-2)阶的超收敛阶,同时还提供了数值算例用以验证所得的结论。3.证明了内点弯矩恢复具有O(h2k-2)阶的超收敛阶,同时还提供了数值算例用以验证所得的结论。4.证明了内点剪力恢复至少具有O(h2k-2)阶的超收敛阶,同时还提供了数值算例用以验证所得的结论。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 附表索引
• 第1章 绪论
• 1.1 有限元超收敛
• 1.1.1 问题的提出
• 1.1.2 历史背景
• 1.2 单元能量投影法（EEP）法简介
• 1.2.1 精确单元
• 1.2.2 近似单元
• 1.3 本文的主要内容及创新点
• 1.3.1 本文的主要内容
• 1.3.2 本文的创新点
• 第2章 四阶两点边值问题单元能量投影法的数学分析
• 2.1 粱问题的正交性修正
• 2.2 粱问题的正交性修正结果
• 2.3 四阶问题的单元能量投影法
• 2.4 EEP法内点位移恢复超收敛性
• 2.4.1 定理及证明
• 2.4.2 数值例子
• 2.5 EEP法内点应力恢复超收敛性
• 2.5.1 定理及证明
• 2.5.2 数值例子
• 2.6 EEP法内点弯矩恢复超收敛性
• 2.6.1 定理及证明
• 2.6.2 数值例子
• 2.7 EEP法内点剪力恢复超收敛性
• 2.7.1 定理及证明
• 2.7.2 数值例子
• 结论
• 参考文献
• 致谢辞