论文摘要
随机延迟微分方程作为一种重要的数学模型,越来越多地应用于经济、医学、物理和控制科学等领域。由于很难直接求出随机延迟微分方程的显式解表达式,因此构造合适的数值方法并对数值解的性态进行研究是一项具有理论价值和实际意义的工作。对于随机延迟微分方程的研究近十年来才逐步展开,现有的一些结论大都是关于随机常延迟微分方程的。对于随机无界延迟微分方程,特别是随机比例微分方程的研究很少见到。本文主要研究随机比例微分方程。介绍了对时间区间的变步长划分方法,数值节点不仅包括离散点tn,还包括了所对应的延迟节点qtn。考察了非线性随机比例微分方程,在全局Lipschtiz条件和线性增长条件下,方程的半隐式Euler方法是1/2阶收敛的。对于一般形式的线性随机比例微分方程,应用变步长半隐式Euler方法,讨论了数值解的T-稳定性。T-稳定是一种弱稳定性,但在计算机实现方面有明显优势,具有较强的应用性。文章同时讨论了定步长半隐式Euler方法的T-稳定性,并分别给出了数值试验。通过简单的比较,变步长方法在保持解的稳定性和步长控制方面具有明显的优势。对于随机比例微分方程,本文还研究了一种高阶的数值方法--Milstein方法。该方法是基于随机Taylor展开的强收敛方法,数值格式中含有两个二重积分。利用随机积分的性质和鞅的性质,有效的解决了二重积分的计算问题,证明了半隐式Milstein方法在均方意义下是1阶收敛到方程解析解的。之后讨论了应用于线性试验方程的变步长半隐式Milstein方法的均方稳定性,并给出了相应的数值试验。
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