论文摘要
近几十年来,无网格法得到了广泛研究与工程应用。相比传统的有限元法和边界元法,无网格法可以大量减少复杂模型划分网格所需的工作量,并且可以方便应用于大变形问题、裂纹扩展问题和复合材料结构问题。杂交边界点法是边界类型无网格法中的一种,可以像边界元法一样将求解问题维数降低一维。然而,杂交边界点法的系数矩阵为密集非对称满阵,采用迭代法和直接法求解时的计算复杂度分别为O(N2)和O(N3),其中N为计算总自由度。因此,在普通微机上杂交边界点法无法应用于较大规模的计算。快速多极算法是研究和应用较为广泛的一种加速算法。本文利用快速多极算法加速杂交边界点法,提出了求解三维力学问题的快速多极杂交边界点法。利用广义极小残差法来求解方程组,在其每一迭代步中利用快速多极算法加速矩阵与向量相乘。对三维力学问题的基本解进行级数展开。利用自适应八叉树结构将求解域自适应分解为分级分层的格子。估计了算法的时间复杂度,提出了一种时间复杂度为O(N)的快速算法。数值算例表明快速多极杂交边界点法具有高效率和高精度的特点。在快速多极算法中,最耗时的部分是多极矩到局部展开系数的传递过程,还有一定的空间可以减少这部分计算量。在三维力学问题的初始快速多极杂交边界点法的基础上,推导了三维力学问题的新型快速多极杂交边界点法,该算法采用了一种新的对角化算子,将计算量进一步减少。数值算例中对初始算法和新型算法的效率进行了比较。将快速多极杂交边界点法应用于结构工程中复合材料的模拟。为了处理复合材料,采用了一种多域算法,该多域算法利用交界面上的平衡条件和连续性条件,将每个子域的的系统方程组装至整体的系统方程,非常适合求解具有交界面和复合材料的问题,并且得到的系数矩阵是块状稀疏系数矩阵。提出了一种基于杂交边界点法的新方程求解结构工程中的复合材料,该新方程同样采用交界面上的连续性条件,但只需要将交界面上未知系数组装一次到整体系统方程中,因此可以同时减少存储量和计算量。该新方程非常适合求解含有大量夹杂粒子的复合材料,尤其适合实心粒子完全包含于基体中的情况。将初始和新型快速多极杂交边界点法与多域算法和新方程结合,对结构工程中三维复合材料进行了数值计算,分析了其热传导性质和力学性质。数值算例表明,本文中的算法非常适合三维复合材料的模拟和分析。本文的研究表明,初始和新型快速多极杂交边界点法均具有非常高的计算效率和精度,均非常适合进行大规模计算,使杂交边界点法可以更为广泛的应用于工程领域。
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