离散Hamilton系统的周期解与边值问题

论文摘要

本文应用Morse理论、度理论、极小极大方法、Zp几何指标理论等,研究离散Hamilton系统周期解以及边值问题解的存在性与多重性,所得结论对离散系统定性理论的发展具有重要的促进作用。全文共分六章,主要内容如下。第一章简述了问题产生的历史背景、问题的研究状态、最新进展、预备知识以及本文的主要工作.第二章考虑一阶渐近线性离散Hamilton系统p周期解的存在性与多重性,其中p＞2是给定的素数.利用Zp几何指标理论与一阶线性离散Hamilton系统的Morse指标理论,得到了非平凡周期解的Zp轨道的存在性与多重性的充分条件。这是首次应用这两种指标理论讨论离散系统解的存在性问题,并且改进了文献中已知的结果,得到了周期解个数下界的一个更好的估计。第三章研究具有“小”强迫项的二阶离散Hamilton系统周期解的存在性与多重性。首先,给出了保证上述问题对应的变分泛函是强制的若干充分条件,以得到极小临界点。然后,证明了如果0是强迫项为零的系统的非退化周期解,则上述极小临界点非退化,从而利用Morse理论中的三临界点定理,证明了原系统至少存在三个周期解。特别地,在非线性项是自治与非自治的情况下,分别给出了一些条件以保证0是强迫项为零的系统的非退化周期解。这些条件简单明了,易于验证。最后,举例说明了当强迫项不是充分小时,结论不成立。这对扰动离散系统的研究具有重要意义。第四章研究纯量形式下边值问题解的存在性与多重性,这是首次应用Morse理论讨论离散系统边值问题解的存在性,并获得了一系列有意义的结果。对于系统在无穷远处非共振的情形,我们主要应用Morse理论、度理论与矩阵分析等,讨论了齐次问题和非齐次问题解的存在性与多重性,而且得到了非齐次问题恰好有三个解的充分条件。一般来说,临界点理论或者不动点方法只能得到算子方程解的个数的下界,而这里精确地给出了解的个数,因此,为研究此类问题提供了一种新的思路。对于系统在无穷远处共振的情形,通过计算无穷远处的临界群,利用截断技巧和山路引理得到了一个正的临界点和一个负的临界点并且计算了相应的临界群,由此得出三个非平凡解的存在性结论,其中包括了一个正解,一个负解。这一章所使用的方法也可用于其它类型的边值问题,只要相应的线性系统的特征值问题没有零特征值。第五章研究高维情形下边值问题解的存在性与多重性。已有的文献中,一般假设非线性项是超线性、次线性或者有界的,据作者所知,目前应用临界点理论讨论非线性项是渐近线性情形的文献很少。鉴于此,该章对非线性项提出了广义渐近线性条件,包含了渐近线性作为特殊情形,通过对二阶线性离散Hamilton系统分类,定义了指标函数,得到了指标函数的性质与计算公式,再结合Leray-Schauder原理与Morse理论等,得到了边值问题解的存在性与多重性的一些新的充分条件。从而,完善了对离散系统边值问题的讨论,所用的方法也可用于其它类型离散系统的边值问题,如一阶离散Hamiton系统边值问题等。这些结果即使是对渐近线性的情形也是最新的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 问题研究的历史背景
• 1.1.1 离散Hamilton系统周期解与边值问题的研究背景
• 1.1.2 临界点理论综述
• 1.2 预备知识
• 1.2.1 本文通用的数学符号
• 1.2.2 极小极大方法与多重临界点
• 1.2.3 Morse理论与多重临界点
• 1.3 问题的研究状态、最新进展与本文的主要工作
• 1.3.1 一阶渐近线性Hamilton系统的周期解
• 1.3.2 二阶Hamilton系统的周期解
• 1.3.3 二阶（广义）渐近线性Hamilton系统的两点边值问题
• 第2章 一阶离散Hamilton系统周期解的存在性与多重性
• 2.1 引言
• 2.2 预备知识
• 2.3 线性Hamilton系统的指标理论
• 2.4 主要结论及其证明
• 第3章 带强迫项的二阶离散Hamilton系统周期解的存在性与多重性
• 3.1 引言和主要结论
• 3.2 主要结论的证明
• 3.3 一些注记和例子
• 第4章 二阶离散Hamilton系统的边值问题
• 4.1 引言和变分框架
• 4.2 系统在无穷远处非共振的情形
• 4.3 系统在无穷远处共振的情形
• 4.4 结论与进一步的问题
• 第5章 二阶广义渐近线性离散Hamilton系统边值问题解的存在性与多重性
• 5.1 引言
• 5.2 二阶线性离散Hamilton系统的指标理论
• 5.3 主要结论及其证明
• 结论
• 参考文献
• 附录A （攻读学位期间所发表的学术论文）
• 致谢