代数流形上的Lagrange插值和Hermite插值

论文摘要

多元Lagrange插值问题和多元Hermite插值问题是当前多元逼近研究领域中的两个热门课题,尤其是代数流形上的插值问题,越来越得到广泛的关注。本文正是针对这两个课题展开了研究,并取得了相应的研究成果。文章在绪论中简要地介绍了目前多元多项式插值的研究近况。在此基础上,我们深入研究了高维空间中代数流形上的Hermite插值问题。首先给出了问题的提法,然后证明了代数流形上Hermite插值的叠加插值法。它包含代数流形上的Lagrange插值问题的相应结果作为特例,因此是对代数流形上的多项式插值问题研究的继续和深入。针对三维空间中一种特殊的代数流形-球面,具体讨论了其上的Lagrange插值和Hermite插值问题。并将代数流形上Hermite插值的叠加插值法具体化,得到了一些球面上比较实用的插值格式,它们包含了之前相关文献中给出的插值格式做为特例,因此是对现有的球面上插值格式的一个扩充和发展。文中还给出了一些具体的插值格式的例子以及一些数值算例。作为插值理论的一个简单应用,文章最后研究了一类特殊的无网格方法一有限点方法。对于二维和三维散乱数据,建立了一阶数值方向微商的近似公式。对于二阶数值微商的近似公式,给出了相应的稳态邻点集的证明。

论文目录

• 内容提要
• 前言
• 第一章 绪论-多元多项式插值的研究情况
• §1.1 多元多项式插值的基本概念
• §1.2 多元Hermite插值
• §1.3 二元多项式插值及插值适定结点组的几种构造方法
• §1.4 高维空间中代数流形上的Lagrange插值
• §1.5 插值多项式空间的构造
• 第二章 代数流形上的一种Hermite插值问题
• §2.1 问题的提出
• §2.2 代数流形上Hermite插值的叠加插值法
• 第三章 球面上的Lagrang插值问题
• §3.1 球面上的Lagrange插值问题的提出
• §3.2 沿纬线组的Lagrange插值问题
• §3.3 沿单位球面的Lagrang插值问题
• §3.4 球面上插值多项式的一个具体算法
• §3.5 结果的进一步推广和数值算例
• 第四章 球面上的Hermite插值问题
• §4.1 球面上的一种Hermite插值问题的提出
• §4.2 同轴圆周组上第一类Hermite插值问题
• §4.3 同轴圆周组上第二类Hermite插值问题
• §4.4 同轴圆周组上第三类Hermite插值问题
• §4.5 单位球面上的Hermite插值问题
• §4.6 例子和总结
• 第五章 插值理论在有限点方法中的应用
• §5.1 有限点方法
• §5.2 二元情况
• §5.3 三元情况
• 参考文献
• 攻博期间完成的学术论文
• 中文摘要
• 英文摘要
• 致谢