发展型方程的非协调有限元研究

论文摘要

有限元方法是当今科学与工程计算中的主流方向之一。由于非协调元与协调元相比有很多优势,如:对于自由度定义在单元的边上及单元自身上的非协调元来说,由于每个未知量只涉及两个单元,因此在信息传递上足廉价的,而且容易进行并行计算。相对于协调混合元,非协调混合元更容易构造使其满足LBB条件,因此非协调元的研究得到广泛的关注。此外,传统的有限元方法要求剖分满足正则性条件或拟一致假设,这些条件在一定程度上限制了有限元的应用。在实际应用中,对于窄边区域上的问题,如果采用传统正则剖分,总体自由度的增加将会使计算量非常大。这时采用各向异性剖分,就会使得用较少的自由度而得到同样的估计结果。目前各向异性有限元方法已经成为有限元领域备受关注的热点之一。本文针对不同的发展型方程（包括Sobolev方程、抛物型积分微分方程、非线性Sobolev方程、非线性双曲方程、非定常的热传导-对流方程等）,分别从各向异性非协调有限元方法、非协调差分-流线扩散方法、非协调混合有限元方法等不同角度出发,对单元的构造,理论分析及数值计算等方面进行深入系统的探讨。第三章和第四章考虑了具有各向异性特征的低阶非协调单元（包括矩形元和三角形元）,将它应用到Sobolev方程和抛物型积分微分方程,在半离散格式下得到了L2模和H1模的最优估计以及H1模的超逼近和超收敛结果。而且还给出了Eulcr-Galerkin格式和Crank-Nicolson-Galerkin格式的全离散分析。所给出的大量数值试验也验证了理论结果的正确性。第五章研究了一类对流占优非线性Sobolev方程的经济型差分-流线扩散非协调有限元方法。分别给出了Euler-EFDSD和Crank-Nicolson—EFDSD格式的最优的精度分析。第六章,考虑了一类非线性双曲方程的非协调H1-Galcrkin混合有限元方法并给出了半离散格式的H1模和H（div）模的最优估计。第七章还考虑了非定常的热传导-对流方程的非协调混合有限元方法,在半离散格式下,得到了关于速度L2（H1）-模,压力L2（L2）-模和温度L2（H1）-模的最优误差估计。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• 第二章 预备知识
• 2.1 Sobolev空间的一些结论
• 2.2 有限元空间及其性质
• 2.3 各向异性基本定理
• 2.4 混合有限元理论
• 第三章 Sobolev方程的各向异性非协调有限元分析
• 3.1 引言
• 3.2 Sobolev方程的各向异性非协调矩形有限元分析
• 3.2.1 矩形单元的构造
• 3.2.2 半离散格式的收敛性分析
• 3.2.3 向后的Euler-Galerkin格式的收敛性分析
• 3.2.4 Crank-Nicolson-Galerkin格式的收敛性分析
• 3.2.5 整体超收敛
• 3.2.6 数值试验
• 3.3 Sobolev方程的各向异性非协调Carey元有限元分析
• 3.3.1 Carey元的构造
• 3.3.2 半离散格式的误差估计
• 3.3.3 数值试验
• 第四章 抛物型积分微分方程的各向异性非协调有限元分析
• 4.1 引言
• 4.2 抛物型积分微分方程的各向异性非协调矩形有限元分析
• 4.2.1 半离散格式的各向异性收敛性分析
• 4.2.2 超收敛性分析
• 4.2.3 向后Euler-Galerkin格式的收敛性分析
• 4.2.4 Crank-Nicolson-Galerkin格式的收敛性分析
• 4.2.5 数值试验
• 4.3 抛物型积分微分方程的非协调Carey元有限元分析
• 4.3.1 非协调三角形格式
• 4.3.2 半离散格式的误差估计
• 4.3.3 数值试验
• 第五章 非线性Sobolev方程的经济型差分-流线扩散非协调有限元法
• 5.1 引言
• 5.2 单元构造
• 5.3 Euler-EFDSD格式及其稳定性分析
• 5.4 Euler-EFDSD格式的误差分析
• 5.5 Crank-Nicolson-EFDSD格式及其稳定性分析
• 5.6 Crank-Nicolson-EFDSD格式的误差估计
• 1-Calerkin非协调混合有限元方法'>第六章 非线性双曲方程的H¹-Calerkin非协调混合有限元方法
• 6.1 引言
• 6.2 单元的构造
• 6.3 半离散格式的收敛性分析
• 第七章 非定常的热传导-对流方程的非协调混合有限元方法
• 7.1 引言
• 7.2 混合广义解的存在唯一性
• 7.3 非协调混合有限元空间及其性质
• 7.4 半离散格式的混合有限元解的存在性
• 7.5 半离散格式的误差分析
• 参考文献
• 攻读博士学位期间已发表的文章
• 致谢