两类非线性发展方程的Cauchy问题

论文摘要

本文分五章:第一章为引言;第二章研究一类具有阻尼项的非线性双曲型方程的Cauchy问题的局部广义解和局部古典解的存在性和唯一性;第三章研究第二章所述问题的解的爆破,并举出一个实例;第四章研究Bq型方程的Cauchy问题的整体广义解和整体古典解的存在性和唯一性;第五章研究第四章所述问题的解的爆破,并举出一个实例.具体情况如下: 在第二章中,我们研究如下一类具有阻尼项的非线性双曲型方程的Cauchy问题 utt+k1▽4u+k2▽4ut+▽2g（▽2u）=0,（x,t）∈R3×（0,T）,（1） u（x,0）=u0（x）,ut（x,0）=u1（x）,x∈R3,（2）其中u（x,t）为未知函数,k1和k2为正常数,▽为梯度算子,▽2=△为Laplace算子,▽4=△2为双调和算子,g（s）为给定的非线性函数,u0（x）和u1（x）为已知的初始函数,下标t表示对t求偏导数.为此我们先研究方程（1）的周期边界问题 u（x,t）=u（x1+2D,x2,x3）=u（x1,x2+2D,x3）=u（x1,x2,x3+2D）,（3） u（x,0）=u0（x）,ut（x,0）=u1（x）.（4）在证明了问题（1）,（3）,（4）局部广义解和局部古典解的存在唯一性之后,利用周期边界问题取极限的方法,证明问题（1）,（2）局部广义解和局部古典解的存在唯一性.主要结果如下: 定理1 设g∈C4（R）,|g（s）|≤K1|s|q,|g′（s）|≤K2|s|q-1等等,其中q≥2为自然数,K1,K2为正常数.若u0∈H6（Ω）,u1∈H4（Ω）,则周期边界问题（1）,（3）,（4）存在唯一局部广义解u（x,t）.

论文目录

• 第一章 引言
• 第二章 Cauchy 问题（1.1），（1.2）的局部广义解和局部古典解的存在唯一性
• §1 周期边界问题的局部广义解和局部古典解的存在唯一性
• §2 Cauchy问题（1.1），（1.2）的局部广义解和局部古典解的存在唯一性
• 第三章 Cauchy问题（1.1），（1.2）解的爆破及例子
• §1 Cauchy问题（1.1），（1.2）解的爆破
• §2 例子
• 第四章 Cauchy问题（1.5），（1.6）的整体广义解和整体古典解的存在唯一性
• §1 Cauchy问题（1.9），（1.10）的整体广义解和整体古典解的存在唯一性
• §2 Cauchy问题（1.5），（1.6）的整体广义解和整体古典解的存在唯一性
• 第五章 Cauchy问题（1.5），（1.6）解的爆破及例子
• §1 Cauchy问题（1.5），（1.6）解的爆破
• §2 例子
• 参考文献
• 致谢