一类曲线的Minkowski容度

论文摘要

数学中,将Minkowski容度存在的集合称之为Minkowski可测的.一个集合的Minkowski容度在什么情况下是正有限数、什么情况下是0或+∞,这常常是人们关心或感兴趣的问题.特别地,M.L.Lapidus在他的一篇研究分形鼓的Weyl-Berry猜想的论文中,把有关的Laplace方程特征值个数的估计问题变成了计算其分形边界的Minkowski容度的问题,从而使得对有关集合的Minkowski容度的研究成了人们非常关注的工作.目前,对于R中集合的Minkowski容度问题已经得到很多较完整的研究结果.例如,华中师范大学的陈世荣副教授系统地研究了区间[0,1]内的可数点集,确定了这类集合的Minkowski维数以及它们的Minkowski容度.此外,M.L.Lapidus和K.J.Falconer等也对这类问题做了很多相当好的研究.但是,对于Rn（n≥2）中集合的Minkowski容度问题的研究结果并不多见. 如Von Koch曲线,Cantor尘,以及Sierpinski垫子都是我们最为熟悉的分形集合.但迄今为止,我们除了知道这些曲线的Hausdorff维数,Minkowski维数和其Hausdorff测度或Hausdorff测度估计式外,对它们的其它性质几乎一无所知,特别是它们的Minkowski容度.这个问题一直是人们所关心而没有得到解决的问题.本文首先研究了Von Koch曲线,Cantor尘,给出了它们的一些基本性质,并通过一定的技巧分别求出了Von Koch曲线和Cantor尘的上,下Minkowski容度的比较好的估计式,从而得到Von Koch曲线和Cantor尘的Minkowski容度不存在,即它们不是Minkowski可测的.此外,本文又用另一种容度的定义和方法,具体求出了Sierpinski垫子E的上Minkowski容度M*（d,E）和下Minkowski容度M（d,E）,即:M*（d,E）≈1.814和M*（d,E）≈1.811.从而推出Sierpinski垫子的Minkowski容度是不存在的,用一种新的方法解决了它不是Minkowski可测的.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1.引言
• 2.记号和定义
• 2.1 Hausdorff测度和维数
• 2.2 Minkowski维数和容度
• 3.Von Koch曲线
• 3.1 Von Koch曲线的构造
• 3.2 Von Koch曲线的性质
• 3.3 Von Koch曲线的Minkowski容度
• 4.Cantor尘
• 4.1 Cantor尘的构造
• 4.2 Cantor尘的性质
• 4.3 Cantor尘的Minkowski容度
• 5.Sierpinski垫子
• 5.1 Sierpinski垫子的构造
• 5.2 Sierpinski垫子的ε平行体
• 5.3 Sierpinski垫子的Minkowski容度
• 参考文献
• 致谢