多维广义立方双色散方程的Cauchy问题

论文摘要

本文证明下列多维广义立方双色散方程的Cauchy问题vtt-Δv-aΔvtt-bΔ2v-dΔvt=Δf（v）, x∈Rn,t>0, （1） v（x,0）=v0（x）,vt（x,0）=v1（x）, x∈Rn （2）存在唯一的整体解,其中v（x,t）是未知函数,a,b>0,d≠0是常数,Δ是n维Laplace算子,Δ2是n维双调和算子,下标t表示对t求偏导数,f（s）是给定的非线性函数,v0（x）和v,（x）是已知的初值函数.用凸性方法讨论在一定条件下多维广义立方双色散方程Cauchy问题（1）,（2）解的爆破.为了讨论方便,作展缩变换方程（1）就变成不失一般性,我们研究下列Cauchy问题utt-Δu-Δutt+Δ2u-αΔut=Δg（u）, x∈Rn,t>0, （3） u（x,0）=u0（x）,ut（x,0）=u1（x）, x∈Rn. （4）主要结果如下：定理1.设当n=1,2,3时,s≥2和当n≥4时,s>n/2;u0∈Hs（Rn）,u1∈Hs-1（Rn）且g∈C[s]+1（R）和g（0）=0,那么Cauchy问题（3）,（4）有唯一解u∈C（[0,T0]）；Hs（Rn）)∩C1（[0,T0];Hs-1（Rn））∩C2（[0,T0）;Hs-2（Rn）),其中[0,T0)是解存在的最大时间区间.更进一步,如果那么T0=∞.下面我们证明Cauchy司题（3）,（4）解的延拓条件（5）转化为证明下列条件（6）,即证明定理2.设当n=1,2,3时,s≥2和当n≥4时,s＞n/2,u0∈Hs（Rn）,u1∈Hs-1（Rn）且g∈C[s]+1（R）和g（0）=0.则Cauchy问题（3）,（4）存在唯一的局部广义解u∈C（（0,T0）；Hs（Rn））∩C1（[0,T0）；Hs-1（Rn）)∩C2（[0,T0）；Hs-2（Rn）),其中[0,T0)是解存在的最大时间区间.同时,当时,那么T0=∞.引理1.设u0∈Hs（Rn）,u1∈Hs-1（Rn）（n=1,2,3,s≥2和n≥4,s≥3/2+n/2）,Λ-1u1∈L2（Rn）,g∈C[s]+1（R）,g（0）=0,和G0（u0）∈L1（Rn）.（1）若（?）y∈R,G0（y）≥0,则Cauchy问题（1.9）,（1.10）的解有估计‖Λ-1ut（.,t）‖2+‖u（.,t）‖2+‖ut（.,t）‖2+‖▽u（.,t）‖2≤E（0）e2│α│T,（?）t∈[0,T]（T<T0）；（2）若g’（y）是有下界,即存在一个常数C使得对于所有的y∈R,g’（y）≥C,则Cauchy问题（1.9）,（1.10）的解有估计其中记号κ1和G1的定义见证明,和。分别表示在Rn上的Fourier变换和逆变换以及（?）为n维梯度算子.定理3.设引理1的条件成立,当n=1时,Cauchy问题（3）,（4）存在唯一整体广义解u∈C（[0,∞）；Hs（Rn）)∩C1（[0,∞）；Hs-1（Rn）)∩C2（[0,∞）；Hs-2（Rn）).定理4.设引理1的条件成立.又设|g（y）|≤C1|y|3,其中C1为一常数.则当n=2时,s≥（?）,则Cauchy问题（3）,（4）存在唯一整体广义解u∈C（（0,∞）；Hs（Rn））nC1（[0,∞）；Hs-1（Rn）)∩C2（[0:∞）；Hs-2（Rn）).注1.如果s>4+n/2（n=1,2）,则Cauchy问题（3）,（4）的整体广义解是整体古典解u∈C（[0,∞）；CB4（Rn）)∩C1（[0,∞）；CB3（Rn）)∩C2（[0,∞）；CB2（Rn）),n=1,2.定理5设α>0,g（y）∈C（R）,u0∈H1（Rn）,u1∈L2（Rn）,Λ-1u1∈L2（Rn）,G0（u）=和G0（u0）∈L1（Rn）且存在常数口>0,ε>0,使得2yg（y）≤2（4β+2+εα）G0（y）+（4β+εα-ε-1α）y2,（?）y∈R. （7）那么如果满足下列条件之一时,（1）E（0）<0,（2）E（0）=0,（Λ-1u0,Λ-1u1）+（u0,u1）>0, Cauchy问题（3）,（4）的广义解或古典解爆破,其中E（0）=‖Λ-1u1‖2+‖u0‖2+‖u1‖2+‖▽u0‖2+2∫Rn G0（u0）dx.定理6.设α>0,g（y）∈C（R）,u0∈H1（Rn）,u1∈L2（Rn）,Λ-1u1∈L2（Rn）,且存在常数β>0,ε>0使得4βε<α,和2yg（y）≤（4β+2+εα）G0（y）, （?）y∈R. （8）那么Cauchy问题（3）,（4）的广义解或古典解满足下列条件之一时爆破：（1）E（0）≤0,

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 Cauchy问题（1.9）,（1.10）局部解的存在唯一性
• 第三章 Cauchy问题（1.9）,（1.10）的整体解
• 第四章 Cauchy问题（1.9）,（1.10）解的爆破
• 参考文献
• 致谢