Pointed Hopf代数的表示

论文摘要

量子化包络代数及其有限维商小量子群是一类非常重要的pointed Hopf代数。对其的研究极大地推动了整个Hopf代数理论的发展。最近，利用提升方法，Andruskiewitsch与Schneider对余根为交换群代数的（有限维）pointed Hopf代数进行了分类，发现了许多新的Hopf代数的例子（[2，3]）。这些Hopf代数可以看作是量子化包络代数及小量子群自然地推广。进一步地研究这些Hopf代数的性质和表示就成为人们非常关注且急于解决的一个问题。本论文讨论了三类pointed Hopf代数：Taft代数的量子偶；半量子群；对应A2×A2型Cartan矩阵的pointed Hopf代数。这些Hopf代数都包含在Andruskiewitsch与Schneider讨论的Hopf代数中。我们的许多结果也可推广到更一般的类型，从而为研究一般的余根为交换群代数的pointed Hopf代数上的表示提供了思路与方法。首先，给定一个Taft代数An，Chen在文献[8，9，10，11]中刻画了它的量子偶Hn（p，q）的结构并给出Hn（p，q）上所有有限维表示。在本文第二章中我们讨论了Hn（p，q）上的无限维表示，给出了所有不可分解代数紧模，从而在初等等价意义下对Hn（p，q）上的表示进行了分类。其次，对一个半单李代数g，我们取量子化包络代数Uq（g）的Borel子代数为半量子群U≥0。在第三章中我们证明了U≥0不是拟余交换的，因此其左模范畴不是一个辫子monoidal范畴．当q是单位根时，我们给出了U≥0的一个有限维商Hopf代数u≥0是拟余交换的充要条件。在U≥0的权模范畴中，我们描述了所有单对象和投射对象及其张量积分解。利用Radford的方法，我们给出了所有单Yetter-Drinfeld权模，这等价于给出了量子偶D(U≥0)上的所有单权模，从而验证了Hu和Zhang给出的关于D(U≥0)与Uq（g）的表示之间关系的定理（[25]）。这也为进一步研究一般情况(即Andruskiewitsch与Schneider构造的那些扭等价于D(U≥0)的pointed Hopf代数)的表示提供了一种思路。然后，从Andruskiewitsch与Schneider给出的分类结果（[2，3]），我们选择了对应Cartan矩阵为A2×A2型的pointed Hopf代数进行讨论。根据linking参数λ不同取法，有三种情况，对应的Hopf代数分别记为U（D，λ1），U（D，λ2），U（D，λ3）。其中U（D，λ1）是个半量子群而U（D，λ3）则是sl（3）的量子化包络代数。因此我们在第四章中仪对U（D，λ2）展开讨论。我们的结果表明这类Hopf代数介于第一和第三种情况之间，其表示与半量子群和量子化包络代数的表示有着紧密联系。在q是单位根的情形，我们讨论了其有限维商Hopf代数。特别地，我们得到一个计算幂等元的方程组，通过解方程组给出了正则模的不可分解投射模分解，这个方法对于讨论Uq（sl（2））的小量子群也同样适应。在论文的最后部分，我们讨论了Hopf代数U（D，λ）与其某些子Hopf代数之间的联系．我们在U（D，λ）的模范畴与这些子Hopf代数的模范畴之间建立了若干函子，由此讨论它们表示的关系。对一些经典pointed Hopf代数，利用我们的结果，可以得到这些pointed Hopf代数的推广形式上的表示．这包含了文[19]与[27]中的部分结果．

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• Table of Contents
• Chapter 1 Introduction and Preliminaries
• 1.1 Hopf algebras and their modules
• 1.2 The quantized enveloping algebras and their representations
• 1.3 Classification of pointed Hopf algebras
• Chapter 2 Generic modules over a class of Drinfeld's quantum doubles
• 2.1 Preliminaries
• 2.1.1 Taft algebras
• 2.1.2 Drinfeld doubles of Taft's algebras
• nt（1,q）'>2.1.3 Blocks of H_nt（1,q）
• 2.1.4 Modules over the trivial extensions of hereditary algebra
• 2.1.5 Algebraically compact modules
• 2.1.6 Quiver presentation of B
• 2.2 The main results
• 4'>2.2.1 Sweedler's Hopf algebra H₄
• 4'>2.2.2 Drinfeld double of H₄
• 4）'>2.2.3 Finite dimensional modules over D（H₄）
• 4）'>2.2.4 Infinite dimensional modules over D（H₄）
• Chapter 3 Half Quantum Groups
• ≥0'>3.1 The structure of U^≥0
• ≥0'>3.2 The representation of U^≥0
• 3.2.1 The simple modules
• 3.2.2 The Verma modules
• 3.2.3 The comodules and the Yetter-Drinfel'd modules
• Chapter 4 Representation Theory of a Class of Hopf Algebras
• 2）'>4.1 Hopf algebra U（D,λ₂）
• 4.1.1 The properties of U
• 2）'>4.1.2 Representations of U（D, λ₂）
• 4.2 The case q is a root of unit
• 4.2.1 The finite dimensional quotient Hopf algebra u
• 4.2.2 The representation theory over u
• Chapter5 The Relationship Between Γ and U（D,λ）
• 1（?）Γ₂'>5.1 The case Γ = Γ₁（?）Γ₂
• 1（?）Γ with rankΓ =rankΓ₁'>5.2 The case Γ₁（?）Γ with rankΓ =rankΓ₁
• Bibliography
• Publications
• Acknowledgements