常见最值问题的解法
孟占彪
摘要：近几年来，最值问题成为中考数学的热点问题。本文从不同的角度分析常见最值问题的解法，与大家共同探讨。
关键词：最值；绝对值；线段
作者简介：孟占彪，任教于河南省郑州外国语中学。
一、与绝对值有关的最值问题
例1(2004，南昌)：先阅读下面材料，然后解答问题。
在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
如图1，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之合等于A1到A2的距离。
如图示，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站高在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处是最佳选择。
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台的位置，试回答：
（1）有n台机床时，P应设在何处？
（2）根据问题（1）的结论，求的最小值。
解（1）由材料知，n为奇数与偶数时，P点的位置不同，当n为偶数时，P应设在第台与第台之间的任何地方；当n为奇数时，P应设在第台的位置。
（2）根据绝对值的几何定义，求的最小值，就是在数轴上找出表示的点，使它到表示1，2，…，617个点的距离之和最小，根据问题（1）的结论，当时，原式的值最小，最小值是：
二、由不等关系确定的最值问题
例2：某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，若进行粗加工，每吨加工费为600元，需天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需天，每吨售价为4500元，现将这50吨原料全部加工完。
（1）设其中粗加工吨，获利元，求与的函数关系式。（不要求写自变量的范围）
（2）如果必须在20天内完成，如何安排生产才通报获得最大利润？最大利润是多少？（2005年湖北武汉，课改卷）
解析粗加工吨，则细加工为（50-）吨，粗加工每吨利润为（4000-3000）元，细加工每吨利润为（4500-3000）元。
=（4000-3000）-600+（4500-3000）（50-）-900（50-）
=-200+30000
由题意知：
∴30≤≤50
当=30时，最大值
=-200×30+30000=24000（元）
故粗加工（天），
精加工（天）。
所以10天粗加工，10天精加工可获得最大利润，最大利润是24000元。
三、由相等关系确定的最值问题
例3：已知：a、b、c均为实数，且满足
求a、b、c中最大者的最小值
解∵a+b+c=2＞0，abc=4＞0
∴a、b、c中应为两负一正。
设a＞0，b＜0，c＜0
（1）由可得
∴b、c可看作是方程的两个实数根。
∴
∴a、b、c中的最大者是最小值是4.
四、由垂线段确定的最值问题
例4：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成
气旋风暴，具有极强的破坏力.图3
根据气象观测，距沿海某城市A的正南
方向220kmB处有一台风中心，其中心
最大风力为12级，每远离台风中心
20km，风力就会减弱一级，该台风中
心正以15km/h的速度沿北偏东300方向往
C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则成为受台风影响。
问题：该城市受到台风影响的最大风力为几级？
解由点A作AD⊥于点D，则AD就为城市A距台风中心的最短距离，此时A市受这次台风影响最大。
在Rt△ABC中，
∠=300，AB=220
∴
因此其最大风力为级。
五、由完全平方公式确定的最值问题
例5：设为实数，代数式的最小值为。（第21届江苏省初中数学竞赛试题）
分析：配方，得原式
=
显见，当时，原式有最小值3.
六、由判别式确定的最值问题
例6：已知实数a，b，c，满足的最大值为.
(第17届江苏省初中数学竞赛试题)
分析由,得
从而,
即
因为b是实数,故△≥0,
即
当满足题设,因此,的最大值为2.
七、由方差公式确定的最值问题
例7：求函数的最大值
解由原函数式可得＞0
∴这两个数的方差是：
整理，得
八、由二次函数确的最值问题
例8：某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发展，当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出，在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用20元，设每套的月租金为元，租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入—支出费用）为元。
(1)用含的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；
(2)求与之间的二次函数关系式；
(3)当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简在说明理由。
(4)请把(2)中所求出的二次函数配方成的形式，并据此说明，当为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？（2005年河北中考试题）
解析:(1)未租出的设备为套，所有未出租设备的支出费用为（2-540）元；
(2)
(3)当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出的设备为32套。因为出租37套和32套获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场的占有率，应该选择出租37套。
(4)
故当时，有最大值为11102.5.
此时租出设备套数为34.5,不为整数,故租出设备应为34(套)或35(套),即当月租金为330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时,租赁公司的月收益最大,最大月收益均为11100元。
作者单位：河南省郑州外国语中学
邮政编码：450041
SolutionstoCommonConstrainedandUnconstrainedOptimization
MengZhanbiao
Abstract:Inrecentyears,constrainedandunconstrainedoptimizationhasbecomeahotissue.Thispaperdiscussesandanalyzescommonconstrainedandunconstrainedoptimizationfromdifferentangles.
Keywords:constrainedandunconstrainedoptimization;absolutevalue;sectionofline